Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss1 33917
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss1 3743 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddss1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3561 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (𝑝𝑋𝑝𝑌))
21orim1d 879 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝑋𝑝𝑍) → (𝑝𝑌𝑝𝑍)))
3 ssrexv 3629 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) → ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
43anim2d 586 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
52, 4orim12d 878 . . . . 5 (𝑋𝑌 → (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
65adantl 480 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) → ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
7 simpl1 1056 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾𝐵)
8 sstr 3575 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
983ad2antr2 1219 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
109ancoms 467 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝐴)
11 simpl3 1058 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑍𝐴)
12 eqid 2609 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 eqid 2609 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
14 padd0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 padd0.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
1612, 13, 14, 15elpadd 33899 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑍𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
177, 10, 11, 16syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑋𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
1812, 13, 14, 15elpadd 33899 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
1918adantr 479 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑝𝑌𝑝𝑍) ∨ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑌𝑟𝑍 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
206, 17, 193imtr4d 281 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑌 + 𝑍)))
2120ssrdv 3573 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
2221ex 448 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15721  joincjn 16713  Atomscatm 33364  +𝑃cpadd 33895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-padd 33896
This theorem is referenced by:  paddss12  33919  paddasslem12  33931  pmod1i  33948  pl42lem3N  34081
  Copyright terms: Public domain W3C validator