Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssw2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddssw2 33946
Description: Subset law for projective subspace sum valid for all subsets of atoms. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddssw.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddssw.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddssw2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))

Proof of Theorem paddssw2
StepHypRef Expression
1 paddssw.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 paddssw.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
31, 2sspadd1 33917 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
433adant3r3 1267 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
5 sstr 3570 . . . 4 ((𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑋𝑍)
64, 5sylan 486 . . 3 (((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑋𝑍)
76ex 448 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍𝑋𝑍))
8 simpl 471 . . . . 5 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾𝐵)
9 simpr2 1060 . . . . 5 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌𝐴)
10 simpr1 1059 . . . . 5 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
111, 2sspadd2 33918 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑋𝐴) → 𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
128, 9, 10, 11syl3anc 1317 . . . 4 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
13 sstr 3570 . . . 4 ((𝑌 ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑌𝑍)
1412, 13sylan 486 . . 3 (((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍) → 𝑌𝑍)
1514ex 448 . 2 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍𝑌𝑍))
167, 15jcad 553 1 ((𝐾𝐵 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝑍 → (𝑋𝑍𝑌𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wss 3534  cfv 5785  (class class class)co 6522  Atomscatm 33366  +𝑃cpadd 33897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-padd 33898
This theorem is referenced by:  paddss  33947
  Copyright terms: Public domain W3C validator