Theorem sspadd1 36966

Description: A projective subspace sum is a superset of its first summand. (ssun1 4148 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sspadd1	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem sspadd1

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4148	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ 𝑌)
2		ssun1 4148	. . 3 ⊢ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
3	1, 2	sstri 3976	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		eqid 2821	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6		padd0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		padd0.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	paddval 36949	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
9	3, 8	sseqtrrid 4020	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  {crab 3142   ∪ cun 3934   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  lecple 16572  joincjn 17554  Atomscatm 36414  +_𝑃cpadd 36946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-padd 36947

This theorem is referenced by:  paddasslem13  36983  paddasslem17  36987  paddidm  36992  paddssw2  36995  pmodlem1  36997  pmodlem2  36998  pmodl42N  37002  osumcllem1N  37107  osumcllem2N  37108  osumcllem10N  37116  pexmidlem6N  37126  pexmidlem7N  37127