Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspadd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspadd1 35419
Description: A projective subspace sum is a superset of its first summand. (ssun1 3809 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
sspadd1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem sspadd1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3809 . . 3 𝑋 ⊆ (𝑋𝑌)
2 ssun1 3809 . . 3 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
31, 2sstri 3645 . 2 𝑋 ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
4 eqid 2651 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 eqid 2651 . . 3 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6 padd0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 padd0.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
84, 5, 6, 7paddval 35402 . 2 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
93, 8syl5sseqr 3687 1 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  {crab 2945  cun 3605  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  lecple 15995  joincjn 16991  Atomscatm 34868  +𝑃cpadd 35399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-padd 35400
This theorem is referenced by:  paddasslem13  35436  paddasslem17  35440  paddidm  35445  paddssw2  35448  pmodlem1  35450  pmodlem2  35451  pmodl42N  35455  osumcllem1N  35560  osumcllem2N  35561  osumcllem10N  35569  pexmidlem6N  35579  pexmidlem7N  35580
  Copyright terms: Public domain W3C validator