Mathbox for Emmett Weisz < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setrecsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setrecsss 42955
 Description: The setrecs operator respects the subset relation between two functions 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Emmett Weisz, 13-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
setrecsss.1 (𝜑 → Fun 𝐺)
setrecsss.2 (𝜑𝐹𝐺)
Assertion
Ref Expression
setrecsss (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))

Proof of Theorem setrecsss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . 2 setrecs(𝐹) = setrecs(𝐹)
2 setrecsss.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐺)
3 imass1 5656 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐺 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
54unissd 4612 . . . . . . 7 (𝜑 (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ (𝐺 “ {𝑥}))
6 setrecsss.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐺)
7 funss 6066 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
82, 6, 7sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
9 funfv 6425 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ {𝑥}))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ {𝑥}))
11 funfv 6425 . . . . . . . 8 (Fun 𝐺 → (𝐺𝑥) = (𝐺 “ {𝑥}))
126, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑥) = (𝐺 “ {𝑥}))
135, 10, 123sstr4d 3787 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑥) ⊆ (𝐺𝑥))
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹𝑥) ⊆ (𝐺𝑥))
15 eqid 2758 . . . . . 6 setrecs(𝐺) = setrecs(𝐺)
16 vex 3341 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
18 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → 𝑥 ⊆ setrecs(𝐺))
1915, 17, 18setrec1 42946 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐺𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
2014, 19sstrd 3752 . . . 4 ((𝜑𝑥 ⊆ setrecs(𝐺)) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs(𝐺))
2120ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
2221alrimiv 2002 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ⊆ setrecs(𝐺) → (𝐹𝑥) ⊆ setrecs(𝐺)))
231, 22setrec2v 42951 1 (𝜑 → setrecs(𝐹) ⊆ setrecs(𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  Vcvv 3338   ⊆ wss 3713  {csn 4319  ∪ cuni 4586   “ cima 5267  Fun wfun 6041  ‘cfv 6047  setrecscsetrecs 42938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-reg 8660  ax-inf2 8709 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-r1 8798  df-rank 8799  df-setrecs 42939 This theorem is referenced by:  setrecsres  42956
 Copyright terms: Public domain W3C validator