Theorem suppssov1 7862

Description: Formula building theorem for support restrictions: operator with left annihilator. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssov1.s	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssov1.o	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
suppssov1.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssov1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
suppssov1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
suppssov1	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑣   𝜑,𝑥   𝑣,𝐵   𝑥,𝐷   𝑣,𝑂   𝑣,𝑅   𝑣,𝑌   𝑥,𝑌   𝑣,𝑍   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑣)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑣)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑣)   𝑂(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑣)   𝑊(𝑥,𝑣)

Proof of Theorem suppssov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssov1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
4	3	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝐴 ∈ V)
5		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑌𝑂𝑣) = (𝑌𝑂𝐵))
6	5	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝑌𝑂𝑣) = 𝑍 ↔ (𝑌𝑂𝐵) = 𝑍))
7		suppssov1.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
8	7	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝑅 (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
9	8	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ∀𝑣 ∈ 𝑅 (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
10	9	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑣 ∈ 𝑅 (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
11		suppssov1.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
12	11	adantll 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
13	6, 10, 12	rspcdva 3625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑌𝑂𝐵) = 𝑍)
14		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → (𝐴𝑂𝐵) = (𝑌𝑂𝐵))
15	14	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐴𝑂𝐵) = 𝑍 ↔ (𝑌𝑂𝐵) = 𝑍))
16	13, 15	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝑌 → (𝐴𝑂𝐵) = 𝑍))
17	16	necon3d 3037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐴𝑂𝐵) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
18		eldifsni 4722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐴𝑂𝐵) ≠ 𝑍)
19	17, 18	impel 508	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝐴 ≠ 𝑌)
20		eldifsn 4719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
21	4, 19, 20	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
22	21	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
23	22	ss2rabdv 4052	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
24		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵))
25		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
26		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
27	24, 25, 26	mptsuppdifd 7852	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})})
28		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
29		suppssov1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
30	29	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑊)
31	28, 25, 30	mptsuppdifd 7852	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
32	23, 27, 31	3sstr4d 4014	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
33		suppssov1.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
34	33	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
35	32, 34	sstrd 3977	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
36	35	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
37		mptexg 6984	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
38		ovex 7189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
39	38	rgenw 3150	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
40		dmmptg 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐴𝑂𝐵) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) = 𝐷)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) = 𝐷
42		dmexg 7613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
43	41, 42	eqeltrrid 2918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V → 𝐷 ∈ V)
44	37, 43	impbii 211	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
45	44	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
46		supp0prc 7833	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) = ∅)
47	45, 46	sylnbi 332	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) = ∅)
48		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐿
49	47, 48	eqsstrdi 4021	. . 3 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
50	49	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
51	36, 50	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567   ↦ cmpt 5146  dom cdm 5555  (class class class)co 7156   supp csupp 7830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-supp 7831

This theorem is referenced by:  suppssof1  7863  evlslem6  20294  plypf1  24802