MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem6 19441
Description: Lemma for evlseu 19444. Finiteness and consistency of the top-level sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem6.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
evlslem6 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏   ,𝐼   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏   𝑌,𝑏   ,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑝)   𝐵(,𝑝,𝑏)   𝐶(,𝑝)   𝐷(,𝑝)   𝑃(,𝑝,𝑏)   𝑅(,𝑝)   𝑆(,𝑝)   𝑇(,𝑝,𝑏)   · (,𝑝,𝑏)   𝐸(,𝑝,𝑏)   (,𝑝,𝑏)   𝐹(,𝑝,𝑏)   𝐺(,𝑝,𝑏)   𝐼(𝑝,𝑏)   𝐾(,𝑝,𝑏)   𝑉(,𝑝,𝑏)   𝑌(,𝑝)

Proof of Theorem evlslem6
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
2 crngring 18486 . . . . . 6 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
5 evlslem1.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
6 evlslem1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 evlslem1.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
86, 7rhmf 18654 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾𝐶)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐾𝐶)
109adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐹:𝐾𝐶)
11 evlslem1.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
12 evlslem1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
13 evlslem1.d . . . . . . 7 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
14 evlslem6.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
1511, 6, 12, 13, 14mplelf 19361 . . . . . 6 (𝜑𝑌:𝐷𝐾)
1615ffvelrnda 6320 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑌𝑏) ∈ 𝐾)
1710, 16ffvelrnd 6321 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ 𝐶)
18 evlslem1.t . . . . . 6 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
1918, 7mgpbas 18423 . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑇)
20 evlslem1.x . . . . 5 = (.g𝑇)
21 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝑇) = (0g𝑇)
2218crngmgp 18483 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
231, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
25 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
26 evlslem1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
2726adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
28 evlslem1.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
2928adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼 ∈ V)
3013, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 29psrbagev2 19439 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
31 evlslem1.m . . . . 5 · = (.r𝑆)
327, 31ringcl 18489 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
334, 17, 30, 32syl3anc 1323 . . 3 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
34 eqid 2621 . . 3 (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
3533, 34fmptd 6346 . 2 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
36 ovex 6638 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V)
3813, 37rabexd 4779 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
39 mptexg 6444 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∈ V)
4038, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∈ V)
41 funmpt 5889 . . . 4 Fun (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
4241a1i 11 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
43 fvex 6163 . . . 4 (0g𝑆) ∈ V
4443a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ V)
45 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
46 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4711, 12, 45, 14, 46mplelsfi 19419 . . . 4 (𝜑𝑌 finSupp (0g𝑅))
4847fsuppimpd 8233 . . 3 (𝜑 → (𝑌 supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
4915feqmptd 6211 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = (𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)))
5049oveq1d 6625 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 supp (0g𝑅)) = ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)))
51 eqimss2 3642 . . . . . 6 ((𝑌 supp (0g𝑅)) = ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)) → ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
5250, 51syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ (𝑌𝑏)) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
53 rhmghm 18653 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
54 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5545, 54ghmid 17594 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
565, 53, 553syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
57 fvex 6163 . . . . . 6 (𝑌𝑏) ∈ V
5857a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑌𝑏) ∈ V)
59 fvex 6163 . . . . . 6 (0g𝑅) ∈ V
6059a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
6152, 56, 58, 60suppssfv 7283 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑌𝑏))) supp (0g𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
627, 31, 54ringlz 18515 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐶) → ((0g𝑆) · 𝑥) = (0g𝑆))
633, 62sylan 488 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ((0g𝑆) · 𝑥) = (0g𝑆))
64 fvex 6163 . . . . 5 (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ V
6564a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑌𝑏)) ∈ V)
6661, 63, 65, 30, 44suppssov1 7279 . . 3 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))
67 suppssfifsupp 8241 . . 3 ((((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∧ (0g𝑆) ∈ V) ∧ ((𝑌 supp (0g𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ (𝑌 supp (0g𝑅)))) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
6840, 42, 44, 48, 66, 67syl32anc 1331 . 2 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
6935, 68jca 554 1 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑌𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3189  wss 3559   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  cima 5082  Fun wfun 5846  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855   supp csupp 7247  𝑚 cmap 7809  Fincfn 7906   finSupp cfsupp 8226  cn 10971  0cn0 11243  Basecbs 15788  .rcmulr 15870  0gc0g 16028   Σg cgsu 16029  .gcmg 17468   GrpHom cghm 17585  CMndccmn 18121  mulGrpcmgp 18417  Ringcrg 18475  CRingccrg 18476   RingHom crh 18640   mVar cmvr 19280   mPoly cmpl 19281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-hash 13065  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-tset 15888  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-mulg 17469  df-ghm 17586  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-cring 18478  df-rnghom 18643  df-psr 19284  df-mpl 19286
This theorem is referenced by:  evlslem1  19443
  Copyright terms: Public domain W3C validator