Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgss 20712
 Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem tgss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 3822 . . . . . 6 (𝐵𝐶 → (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
21unissd 4435 . . . . 5 (𝐵𝐶 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥))
3 sstr2 3595 . . . . 5 (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → ( (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
42, 3syl5com 31 . . . 4 (𝐵𝐶 → (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
54adantl 482 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
6 ssexg 4774 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶𝑉) → 𝐵 ∈ V)
76ancoms 469 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ V)
8 eltg 20701 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
10 eltg 20701 . . . 4 (𝐶𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
1110adantr 481 . . 3 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐶) ↔ 𝑥 (𝐶 ∩ 𝒫 𝑥)))
125, 9, 113imtr4d 283 . 2 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐶)))
1312ssrdv 3594 1 ((𝐶𝑉𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  𝒫 cpw 4136  ∪ cuni 4409  ‘cfv 5857  topGenctg 16038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-topgen 16044 This theorem is referenced by:  tgidm  20724  tgss3  20730  basgen  20732  2basgen  20734  tgfiss  20735  bastop1  20737  lecldbas  20963  txss12  21348  xrtgioo  22549
 Copyright terms: Public domain W3C validator