MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrtgioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrtgioo 22512
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
Assertion
Ref Expression
xrtgioo (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 20915 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
2 ioof 12210 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6004 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 iooordt 20926 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
65rgen2w 2925 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
7 ffnov 6718 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )))
84, 6, 7mpbir2an 954 . . . . . . . . 9 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ )
9 frn 6012 . . . . . . . . 9 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) → ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ ))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
11 tgss 20678 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )) → (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )))
121, 10, 11mp2an 707 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ ))
13 tgtop 20683 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ ))
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ )
1512, 14sseqtri 3621 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
1615sseli 3584 . . . . 5 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
17 retopon 22472 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18 toponss 20639 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝑥 ⊆ ℝ)
1917, 18mpan 705 . . . . 5 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
20 reordt 20927 . . . . . 6 ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )
21 restopn2 20886 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ)))
221, 20, 21mp2an 707 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ))
2316, 19, 22sylanbrc 697 . . . 4 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
2423ssriv 3592 . . 3 (topGen‘ran (,)) ⊆ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
25 eqid 2626 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
26 eqid 2626 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
27 eqid 2626 . . . . . . 7 ran (,) = ran (,)
2825, 26, 27leordtval 20922 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
2928oveq1i 6615 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
3028, 1eqeltrri 2701 . . . . . . 7 (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
31 tgclb 20680 . . . . . . 7 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
3230, 31mpbir 221 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
33 reex 9972 . . . . . 6 ℝ ∈ V
34 tgrest 20868 . . . . . 6 ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ))
3532, 33, 34mp2an 707 . . . . 5 (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
3629, 35eqtr4i 2651 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ))
37 retopbas 22469 . . . . 5 ran (,) ∈ TopBases
38 elrest 16004 . . . . . . . 8 ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ)))
3932, 33, 38mp2an 707 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ))
40 elun 3736 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)))
41 elun 3736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ↔ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
42 vex 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑣 ∈ V
43 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
4443elrnmpt 5336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞)))
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞))
46 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 pnfxr 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 +∞ ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
49 rexr 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
51 df-ioc 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑐𝑐𝑏)})
5251elixx3g 12127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
5352baib 943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
5446, 48, 50, 53syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
55 pnfge 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ +∞)
5756biantrud 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
58 ltpnf 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 < +∞)
6059biantrud 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6154, 57, 603bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6261pm5.32da 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞))))
63 elin 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
64 ancom 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
6563, 64bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
66 3anass 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6762, 65, 663bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
68 elioo2 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6947, 68mpan2 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
7067, 69bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)))
7170eqrdv 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) = (𝑥(,)+∞))
72 ioorebas 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥(,)+∞) ∈ ran (,)
7371, 72syl6eqel 2712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
74 ineq1 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ))
7574eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7673, 75syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7776rexlimiv 3025 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
7845, 77sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
79 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
8079elrnmpt 5336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥)))
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥))
82 mnfxr 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -∞ ∈ ℝ*
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
84 df-ico 12120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑐𝑐 < 𝑏)})
8584elixx3g 12127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
8685baib 943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
8783, 46, 50, 86syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
88 mnfle 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
8950, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝑦)
9089biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
91 mnflt 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑦)
9392biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9487, 90, 933bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9594pm5.32da 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥))))
96 elin 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
97 ancom 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
9896, 97bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
99 3anass 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
10095, 98, 993bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
101 elioo2 12155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
10282, 101mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
103100, 102bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥)))
104103eqrdv 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝑥))
105 ioorebas 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝑥) ∈ ran (,)
106104, 105syl6eqel 2712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
107 ineq1 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ))
108107eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
109106, 108syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
110109rexlimiv 3025 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11181, 110sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11278, 111jaoi 394 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11341, 112sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
114 elssuni 4438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ran (,))
115 unirnioo 12212 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = ran (,)
116114, 115syl6sseqr 3636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
117 df-ss 3574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ⊆ ℝ ↔ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
118116, 117sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
119 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ ran (,))
120118, 119eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
121113, 120jaoi 394 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
12240, 121sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
123 eleq1 2692 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
124122, 123syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,)))
125124rexlimiv 3025 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
12639, 125sylbi 207 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
127126ssriv 3592 . . . . 5 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)
128 tgss 20678 . . . . 5 ((ran (,) ∈ TopBases ∧ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,)))
12937, 127, 128mp2an 707 . . . 4 (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,))
13036, 129eqsstri 3619 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ⊆ (topGen‘ran (,))
13124, 130eqssi 3604 . 2 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
132 xrtgioo.1 . 2 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
133131, 132eqtr4i 2651 1 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  Vcvv 3191  cun 3558  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4135   cuni 4407   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  ran crn 5080   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  +∞cpnf 10016  -∞cmnf 10017  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  (,)cioo 12114  (,]cioc 12115  [,)cico 12116  t crest 15997  topGenctg 16014  ordTopcordt 16075  Topctop 20612  TopOnctopon 20613  TopBasesctb 20615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-ordt 16077  df-ps 17116  df-tsr 17117  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618
This theorem is referenced by:  xrrest  22513  xrsmopn  22518  xrge0tsms  22540  metdcn2  22545  xrge0tsmsd  29562
  Copyright terms: Public domain W3C validator