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Theorem undifixp 7888
Description: Union of two projections of a cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
undifixp ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) ∈ X𝑥𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem undifixp
StepHypRef Expression
1 unexg 6912 . . 3 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶) → (𝐹𝐺) ∈ V)
213adant3 1079 . 2 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) ∈ V)
3 ixpfn 7858 . . . 4 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐹 Fn 𝐵)
4 ixpfn 7858 . . . . 5 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐺 Fn (𝐴𝐵))
5 3simpa 1056 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → (𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵))
65ancomd 467 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → (𝐹 Fn 𝐵𝐺 Fn (𝐴𝐵)))
7 disjdif 4012 . . . . . . . 8 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
8 fnun 5955 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐵𝐺 Fn (𝐴𝐵)) ∧ (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (𝐹𝐺) Fn (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
96, 7, 8sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) Fn (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
10 undif 4021 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
1110biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
1211eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
13123ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
1413fneq2d 5940 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → ((𝐹𝐺) Fn 𝐴 ↔ (𝐹𝐺) Fn (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))))
159, 14mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) Fn 𝐴)
16153exp 1261 . . . . 5 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → (𝐹 Fn 𝐵 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐺) Fn 𝐴)))
174, 16syl 17 . . . 4 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → (𝐹 Fn 𝐵 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐺) Fn 𝐴)))
183, 17syl5com 31 . . 3 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐺) Fn 𝐴)))
19183imp 1254 . 2 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) Fn 𝐴)
20 fndm 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → dom 𝐺 = (𝐴𝐵))
21 elndif 3712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
22 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴𝐵) = dom 𝐺 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
2322notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐵) = dom 𝐺 → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
2423eqcoms 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝐺 = (𝐴𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
25 ndmfv 6175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑥) = ∅)
2624, 25syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐺 = (𝐴𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (𝐺𝑥) = ∅))
2720, 21, 26syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → (𝑥𝐵 → (𝐺𝑥) = ∅))
2827ralrimiv 2959 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐵 (𝐺𝑥) = ∅)
29 elixp2 7856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
3029simp3bi 1076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
31 uneq2 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) ∪ ∅))
32 un0 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑥) ∪ ∅) = (𝐹𝑥)
33 eqtr 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) ∪ ∅) ∧ ((𝐹𝑥) ∪ ∅) = (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
34 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3534biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3635eqcoms 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) ∪ ∅) ∧ ((𝐹𝑥) ∪ ∅) = (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3831, 32, 37sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3938com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐺𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
4039ral2imi 2942 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → (∀𝑥𝐵 (𝐺𝑥) = ∅ → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
4130, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (∀𝑥𝐵 (𝐺𝑥) = ∅ → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
4228, 41syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
434, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
4443impcom 446 . . . . . . . . . 10 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶) → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)
45 fndm 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 Fn 𝐵 → dom 𝐹 = 𝐵)
46 eldifn 3711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ 𝑥𝐵)
47 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = dom 𝐹 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ dom 𝐹))
4847notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = dom 𝐹 → (¬ 𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
49 ndmfv 6175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝑥) = ∅)
5048, 49syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = dom 𝐹 → (¬ 𝑥𝐵 → (𝐹𝑥) = ∅))
5150eqcoms 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 = 𝐵 → (¬ 𝑥𝐵 → (𝐹𝑥) = ∅))
5245, 46, 51syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (𝐹𝑥) = ∅))
5352ralrimiv 2959 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn 𝐵 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐹𝑥) = ∅)
54 elixp2 7856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐺𝑥) ∈ 𝐶))
5554simp3bi 1076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐺𝑥) ∈ 𝐶)
56 uneq1 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (∅ ∪ (𝐺𝑥)))
57 uncom 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∅ ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅)
58 eqtr 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (∅ ∪ (𝐺𝑥)) ∧ (∅ ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅)) → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅))
59 un0 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺𝑥) ∪ ∅) = (𝐺𝑥)
60 eqtr 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅) ∧ ((𝐺𝑥) ∪ ∅) = (𝐺𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
61 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6261biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6362eqcoms 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅) ∧ ((𝐺𝑥) ∪ ∅) = (𝐺𝑥)) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6558, 59, 64sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (∅ ∪ (𝐺𝑥)) ∧ (∅ ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅)) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6656, 57, 65sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) = ∅ → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6867ral2imi 2942 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐹𝑥) = ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6955, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐹𝑥) = ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
7053, 69syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝐵 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
713, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
7271imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)
73 ralunb 3772 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
7444, 72, 73sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)
7574ex 450 . . . . . . . 8 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
76 raleq 3127 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
7776imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) → ((𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶) ↔ (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)))
7875, 77syl5ibr 236 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) → (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)))
7978eqcoms 2629 . . . . . 6 ((𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴 → (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)))
8010, 79sylbi 207 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)))
8180com3l 89 . . . 4 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → (𝐵𝐴 → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)))
82813imp 1254 . . 3 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)
83 df-fn 5850 . . . . . . 7 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) ↔ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)))
84 df-fn 5850 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐵 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵))
85 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) → Fun 𝐹)
86 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → Fun 𝐺)
8785, 86anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵))) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
88873adant3 1079 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
89 ineq12 3787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐹 = 𝐵 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)))
9089, 7syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom 𝐹 = 𝐵 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅)
9190ad2ant2l 781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵))) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅)
92913adant3 1079 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅)
93 fvun 6225 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)))
9488, 92, 93syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)))
9594eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
9695ralbidv 2980 . . . . . . . . . 10 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
97963exp 1261 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) → ((Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
9884, 97sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐵 → ((Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
9998com12 32 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → (𝐹 Fn 𝐵 → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
10083, 99sylbi 207 . . . . . 6 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → (𝐹 Fn 𝐵 → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
1014, 100syl 17 . . . . 5 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → (𝐹 Fn 𝐵 → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
1023, 101syl5com 31 . . . 4 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
1031023imp 1254 . . 3 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
10482, 103mpbird 247 . 2 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶)
105 elixp2 7856 . 2 ((𝐹𝐺) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 ↔ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ (𝐹𝐺) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶))
1062, 19, 104, 105syl3anbrc 1244 1 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) ∈ X𝑥𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  dom cdm 5074  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  cfv 5847  Xcixp 7852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-fv 5855  df-ixp 7853
This theorem is referenced by:  ptuncnv  21520  ptunhmeo  21521
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