Theorem an6 1362

Description: Rearrangement of 6 conjuncts. (Contributed by NM, 13-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
an6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝜓 ∧ 𝜏) ∧ (𝜒 ∧ 𝜂)))

Proof of Theorem an6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1011	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜒))
2		df-3an 1011	. . . 4 ⊢ ((𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ↔ ((𝜃 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
3	1, 2	anbi12i 464	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂)))
4		an4 592	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏)) ∧ (𝜒 ∧ 𝜂)))
5		an4 592	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝜓 ∧ 𝜏)))
6	5	anbi1i 462	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏)) ∧ (𝜒 ∧ 𝜂)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝜓 ∧ 𝜏)) ∧ (𝜒 ∧ 𝜂)))
7	3, 4, 6	3bitri 206	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝜓 ∧ 𝜏)) ∧ (𝜒 ∧ 𝜂)))
8		df-3an 1011	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝜓 ∧ 𝜏) ∧ (𝜒 ∧ 𝜂)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝜓 ∧ 𝜏)) ∧ (𝜒 ∧ 𝜂)))
9	7, 8	bitr4i 187	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝜓 ∧ 𝜏) ∧ (𝜒 ∧ 𝜂)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011

This theorem is used by:  3an6  1363  elfzuzb  10433