Theorem elfzuzb 10227

Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuzb	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))

Proof of Theorem elfzuzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1004	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		an6 1355	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
3		df-3an 1004	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
4		anandir 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)))
5		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6	5	anbi2i 457	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
7	3, 4, 6	3bitri 206	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
8	7	anbi1i 458	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	1, 2, 8	3bitr4ri 213	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10		elfz2 10223	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
11		eluz2 9739	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾))
12		eluz2 9739	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
13	11, 12	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
14	9, 10, 13	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ≤ cle 8193  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733  ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-neg 8331  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by:  eluzfz  10228  elfzuz  10229  elfzuz3  10230  elfzuz2  10237  peano2fzr  10245  fzsplit2  10258  fzass4  10270  fzss1  10271  fzss2  10272  fzp1elp1  10283  fznn  10297  elfz2nn0  10320  elfzofz  10371  fzosplitsnm1  10427  fzofzp1b  10446  fzosplitsn  10451  seq3fveq2  10709  seqfveq2g  10711  monoord  10719  seq3id2  10760  bcn1  10992  seq3coll  11077  ccatrn  11157  swrds1  11216  swrdccat2  11219  summodclem2a  11908  fisum0diag2  11974  mertenslemi1  12062  prodmodclem2a  12103