Theorem df3nandALT1 37167

Description: The double nand expressed in terms of pure nand. (Contributed by Anthony Hart, 2-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
df3nandALT1	⊢ ((𝜑 ⊼ 𝜓 ⊼ 𝜒) ↔ (𝜑 ⊼ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))))

Proof of Theorem df3nandALT1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iman 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 → ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒))) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ¬ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
2		imnan 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 → ¬ 𝜒) ↔ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒))
3	2	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 → ¬ 𝜒) → ¬ (𝜓 ∧ 𝜒))
4	3, 3	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 → ¬ 𝜒) → (¬ (𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
5	2	biranri 511	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)) → (𝜓 → ¬ 𝜒))
6	4, 5	impbii 212	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 → ¬ 𝜒) ↔ (¬ (𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
7		df-nan 1522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ↔ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒))
8	7, 7	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒)) ↔ (¬ (𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
9	6, 8	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ ((𝜓 → ¬ 𝜒) ↔ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒)))
10	9	imbi2i 339	. . 3 ⊢ ((𝜑 → (𝜓 → ¬ 𝜒)) ↔ (𝜑 → ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
11		df-nan 1522	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)) ↔ ¬ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒)))
12	11	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))) ↔ (𝜑 ∧ ¬ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
13	12	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ (𝜑 ∧ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ¬ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
14	1, 10, 13	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝜑 → (𝜓 → ¬ 𝜒)) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
15		df-3nand 37166	. 2 ⊢ ((𝜑 ⊼ 𝜓 ⊼ 𝜒) ↔ (𝜑 → (𝜓 → ¬ 𝜒)))
16		df-nan 1522	. 2 ⊢ ((𝜑 ⊼ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
17	14, 15, 16	3bitr4i 306	1 ⊢ ((𝜑 ⊼ 𝜓 ⊼ 𝜒) ↔ (𝜑 ⊼ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ⊼ wnan 1521   ⊼ w3nand 37165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-nan 1522  df-3nand 37166

This theorem is used by: (None)