Theorem df3nandALT1 34588

Description: The double nand expressed in terms of pure nand. (Contributed by Anthony Hart, 2-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
df3nandALT1	⊢ ((𝜑 ⊼ 𝜓 ⊼ 𝜒) ↔ (𝜑 ⊼ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))))

Proof of Theorem df3nandALT1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iman 402	. . 3 ⊢ ((𝜑 → ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒))) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ¬ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
2		imnan 400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜓 → ¬ 𝜒) ↔ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒))
3	2	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 → ¬ 𝜒) → ¬ (𝜓 ∧ 𝜒))
4	3, 3	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 → ¬ 𝜒) → (¬ (𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
5	2	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝜓 ∧ 𝜒) → (𝜓 → ¬ 𝜒))
6	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)) → (𝜓 → ¬ 𝜒))
7	4, 6	impbii 208	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 → ¬ 𝜒) ↔ (¬ (𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
8		df-nan 1487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ↔ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒))
9	8, 8	anbi12i 627	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒)) ↔ (¬ (𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ¬ (𝜓 ∧ 𝜒)))
10	7, 9	bitr4i 277	. . . 4 ⊢ ((𝜓 → ¬ 𝜒) ↔ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒)))
11	10	imbi2i 336	. . 3 ⊢ ((𝜑 → (𝜓 → ¬ 𝜒)) ↔ (𝜑 → ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
12		df-nan 1487	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒)) ↔ ¬ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒)))
13	12	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))) ↔ (𝜑 ∧ ¬ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
14	13	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ (𝜑 ∧ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ¬ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ∧ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
15	1, 11, 14	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝜑 → (𝜓 → ¬ 𝜒)) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
16		df-3nand 34587	. 2 ⊢ ((𝜑 ⊼ 𝜓 ⊼ 𝜒) ↔ (𝜑 → (𝜓 → ¬ 𝜒)))
17		df-nan 1487	. 2 ⊢ ((𝜑 ⊼ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))) ↔ ¬ (𝜑 ∧ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))))
18	15, 16, 17	3bitr4i 303	1 ⊢ ((𝜑 ⊼ 𝜓 ⊼ 𝜒) ↔ (𝜑 ⊼ ((𝜓 ⊼ 𝜒) ⊼ (𝜓 ⊼ 𝜒))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ⊼ wnan 1486   ⊼ w3nand 34586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-nan 1487  df-3nand 34587

This theorem is referenced by: (None)