HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvdistr1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvdistr1i 30042
Description: Scalar multiplication distributive law. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvdistr1.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
hvdistr1.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
hvdistr1.3 ๐ถ โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
hvdistr1i (๐ด ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ))

Proof of Theorem hvdistr1i
StepHypRef Expression
1 hvdistr1.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„‚
2 hvdistr1.2 . 2 ๐ต โˆˆ โ„‹
3 hvdistr1.3 . 2 ๐ถ โˆˆ โ„‹
4 ax-hvdistr1 29999 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
51, 2, 3, 4mp3an 1462 1 (๐ด ยทโ„Ž (๐ต +โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-hvdistr1 29999
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-3an 1090
This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  30050  hvnegdii  30053  pjmulii  30668  lnophmlem2  31008
  Copyright terms: Public domain W3C validator