Theorem hvnegdii 29403

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvnegdii	⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvnegdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 29361	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7279	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12070	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 29355	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	5, 1, 6	hvdistr1i 29392	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1mulneg1e1 12169	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
9	8	oveq1i 7278	. . . . 5 ⊢ ((-1 · -1) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
10	5, 5, 2	hvmulassi 29387	. . . . 5 ⊢ ((-1 · -1) ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
11		ax-hvmulid 29347	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
13	9, 10, 12	3eqtr3i 2775	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵
14	13	oveq1i 7278	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
15	5, 1	hvmulcli 29355	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16	5, 6	hvmulcli 29355	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	15, 16	hvcomi 29360	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
18	2, 1	hvsubvali 29361	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
19	14, 17, 18	3eqtr4i 2777	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 −ℎ 𝐴)
20	4, 7, 19	3eqtri 2771	1 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  1c1 10856   · cmul 10860  -cneg 11189   ℋchba 29260   +_ℎ cva 29261   ·_ℎ csm 29262   −_ℎ cmv 29266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-hvcom 29342  ax-hfvmul 29346  ax-hvmulid 29347  ax-hvmulass 29348  ax-hvdistr1 29349

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-sub 11190  df-neg 11191  df-hvsub 29312

This theorem is referenced by:  hvnegdi  29408  hisubcomi  29445  normsubi  29482  normpar2i  29497  pjsslem  30020  pjcji  30025