Theorem hvnegdii 31664

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvnegdii	⊢ ( -1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvnegdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31622	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7431	. 2 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ( -1 ·ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12305	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 31616	. . 3 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	5, 1, 6	hvdistr1i 31653	. 2 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = (( -1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1mulneg1e1 12558	. . . . . 6 ⊢ ( -1 · -1) = 1
9	8	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ (( -1 · -1) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
10	5, 5, 2	hvmulassi 31648	. . . . 5 ⊢ (( -1 · -1) ·ℎ 𝐵) = ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
11		ax-hvmulid 31608	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
13	9, 10, 12	3eqtr3i 2792	. . . 4 ⊢ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵
14	13	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ (( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴))
15	5, 1	hvmulcli 31616	. . . 4 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16	5, 6	hvmulcli 31616	. . . 4 ⊢ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	15, 16	hvcomi 31621	. . 3 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = (( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴))
18	2, 1	hvsubvali 31622	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴))
19	14, 17, 18	3eqtr4i 2794	. 2 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 −ℎ 𝐴)
20	4, 7, 19	3eqtri 2788	1 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  1c1 11201   · cmul 11205   -cneg 11542   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   ·_ℎ csm 31523   −_ℎ cmv 31527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-hvcom 31603  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-hvsub 31573

This theorem is used by:  hvnegdi  31669  hisubcomi  31706  normsubi  31743  normpar2i  31758  pjsslem  32281  pjcji  32286