Theorem hvnegdii 30998

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvnegdii	⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvnegdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 30956	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7401	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12178	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 30950	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	5, 1, 6	hvdistr1i 30987	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1mulneg1e1 12401	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
9	8	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((-1 · -1) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
10	5, 5, 2	hvmulassi 30982	. . . . 5 ⊢ ((-1 · -1) ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
11		ax-hvmulid 30942	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
13	9, 10, 12	3eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵
14	13	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
15	5, 1	hvmulcli 30950	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16	5, 6	hvmulcli 30950	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	15, 16	hvcomi 30955	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
18	2, 1	hvsubvali 30956	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
19	14, 17, 18	3eqtr4i 2763	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 −ℎ 𝐴)
20	4, 7, 19	3eqtri 2757	1 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  1c1 11076   · cmul 11080  -cneg 11413   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857   −_ℎ cmv 30861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-hvcom 30937  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415  df-hvsub 30907

This theorem is referenced by:  hvnegdi  31003  hisubcomi  31040  normsubi  31077  normpar2i  31092  pjsslem  31615  pjcji  31620