HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvnegdii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvnegdii 31091
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvnegdii (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴)

Proof of Theorem hvnegdii
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 hvnegdi.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 31049 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
43oveq2i 7442 . 2 (-1 · (𝐴 𝐵)) = (-1 · (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
5 neg1cn 12378 . . 3 -1 ∈ ℂ
65, 2hvmulcli 31043 . . 3 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
75, 1, 6hvdistr1i 31080 . 2 (-1 · (𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((-1 · 𝐴) + (-1 · (-1 · 𝐵)))
8 neg1mulneg1e1 12477 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
98oveq1i 7441 . . . . 5 ((-1 · -1) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
105, 5, 2hvmulassi 31075 . . . . 5 ((-1 · -1) · 𝐵) = (-1 · (-1 · 𝐵))
11 ax-hvmulid 31035 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
122, 11ax-mp 5 . . . . 5 (1 · 𝐵) = 𝐵
139, 10, 123eqtr3i 2771 . . . 4 (-1 · (-1 · 𝐵)) = 𝐵
1413oveq1i 7441 . . 3 ((-1 · (-1 · 𝐵)) + (-1 · 𝐴)) = (𝐵 + (-1 · 𝐴))
155, 1hvmulcli 31043 . . . 4 (-1 · 𝐴) ∈ ℋ
165, 6hvmulcli 31043 . . . 4 (-1 · (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ
1715, 16hvcomi 31048 . . 3 ((-1 · 𝐴) + (-1 · (-1 · 𝐵))) = ((-1 · (-1 · 𝐵)) + (-1 · 𝐴))
182, 1hvsubvali 31049 . . 3 (𝐵 𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴))
1914, 17, 183eqtr4i 2773 . 2 ((-1 · 𝐴) + (-1 · (-1 · 𝐵))) = (𝐵 𝐴)
204, 7, 193eqtri 2767 1 (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  1c1 11154   · cmul 11158  -cneg 11491  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950   cmv 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hvcom 31030  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000
This theorem is referenced by:  hvnegdi  31096  hisubcomi  31133  normsubi  31170  normpar2i  31185  pjsslem  31708  pjcji  31713
  Copyright terms: Public domain W3C validator