Theorem hvnegdii 30964

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvnegdii	⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvnegdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 30922	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7380	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12147	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 30916	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	5, 1, 6	hvdistr1i 30953	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1mulneg1e1 12370	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
9	8	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ ((-1 · -1) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
10	5, 5, 2	hvmulassi 30948	. . . . 5 ⊢ ((-1 · -1) ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
11		ax-hvmulid 30908	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
13	9, 10, 12	3eqtr3i 2760	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵
14	13	oveq1i 7379	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
15	5, 1	hvmulcli 30916	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16	5, 6	hvmulcli 30916	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	15, 16	hvcomi 30921	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
18	2, 1	hvsubvali 30922	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
19	14, 17, 18	3eqtr4i 2762	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 −ℎ 𝐴)
20	4, 7, 19	3eqtri 2756	1 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   · cmul 11049  -cneg 11382   ℋchba 30821   +_ℎ cva 30822   ·_ℎ csm 30823   −_ℎ cmv 30827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-hvcom 30903  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr1 30910

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384  df-hvsub 30873

This theorem is referenced by:  hvnegdi  30969  hisubcomi  31006  normsubi  31043  normpar2i  31058  pjsslem  31581  pjcji  31586