Theorem hvnegdii 31679

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvnegdii	⊢ ( -1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvnegdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31637	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7441	. 2 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ( -1 ·ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12318	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 31631	. . 3 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	5, 1, 6	hvdistr1i 31668	. 2 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = (( -1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1mulneg1e1 12571	. . . . . 6 ⊢ ( -1 · -1) = 1
9	8	oveq1i 7440	. . . . 5 ⊢ (( -1 · -1) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
10	5, 5, 2	hvmulassi 31663	. . . . 5 ⊢ (( -1 · -1) ·ℎ 𝐵) = ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
11		ax-hvmulid 31623	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
13	9, 10, 12	3eqtr3i 2794	. . . 4 ⊢ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵
14	13	oveq1i 7440	. . 3 ⊢ (( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴))
15	5, 1	hvmulcli 31631	. . . 4 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16	5, 6	hvmulcli 31631	. . . 4 ⊢ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	15, 16	hvcomi 31636	. . 3 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = (( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴))
18	2, 1	hvsubvali 31637	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐴))
19	14, 17, 18	3eqtr4i 2796	. 2 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐴) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 −ℎ 𝐴)
20	4, 7, 19	3eqtri 2790	1 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7430  1c1 11214   · cmul 11218   -cneg 11555   ℋchba 31536   +_ℎ cva 31537   ·_ℎ csm 31538   −_ℎ cmv 31542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-hvcom 31618  ax-hfvmul 31622  ax-hvmulid 31623  ax-hvmulass 31624  ax-hvdistr1 31625

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-ltxr 11361  df-sub 11556  df-neg 11557  df-hvsub 31588

This theorem is used by:  hvnegdi  31684  hisubcomi  31721  normsubi  31758  normpar2i  31773  pjsslem  32296  pjcji  32301