HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvnegdii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvnegdii 28375
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvnegdii (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴)

Proof of Theorem hvnegdii
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 hvnegdi.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 28333 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
43oveq2i 6853 . 2 (-1 · (𝐴 𝐵)) = (-1 · (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
5 neg1cn 11393 . . 3 -1 ∈ ℂ
65, 2hvmulcli 28327 . . 3 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
75, 1, 6hvdistr1i 28364 . 2 (-1 · (𝐴 + (-1 · 𝐵))) = ((-1 · 𝐴) + (-1 · (-1 · 𝐵)))
8 neg1mulneg1e1 11491 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
98oveq1i 6852 . . . . 5 ((-1 · -1) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
105, 5, 2hvmulassi 28359 . . . . 5 ((-1 · -1) · 𝐵) = (-1 · (-1 · 𝐵))
11 ax-hvmulid 28319 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
122, 11ax-mp 5 . . . . 5 (1 · 𝐵) = 𝐵
139, 10, 123eqtr3i 2795 . . . 4 (-1 · (-1 · 𝐵)) = 𝐵
1413oveq1i 6852 . . 3 ((-1 · (-1 · 𝐵)) + (-1 · 𝐴)) = (𝐵 + (-1 · 𝐴))
155, 1hvmulcli 28327 . . . 4 (-1 · 𝐴) ∈ ℋ
165, 6hvmulcli 28327 . . . 4 (-1 · (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ
1715, 16hvcomi 28332 . . 3 ((-1 · 𝐴) + (-1 · (-1 · 𝐵))) = ((-1 · (-1 · 𝐵)) + (-1 · 𝐴))
182, 1hvsubvali 28333 . . 3 (𝐵 𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴))
1914, 17, 183eqtr4i 2797 . 2 ((-1 · 𝐴) + (-1 · (-1 · 𝐵))) = (𝐵 𝐴)
204, 7, 193eqtri 2791 1 (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  (class class class)co 6842  1c1 10190   · cmul 10194  -cneg 10521  chba 28232   + cva 28233   · csm 28234   cmv 28238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-hvcom 28314  ax-hfvmul 28318  ax-hvmulid 28319  ax-hvmulass 28320  ax-hvdistr1 28321
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333  df-sub 10522  df-neg 10523  df-hvsub 28284
This theorem is referenced by:  hvnegdi  28380  hisubcomi  28417  normsubi  28454  normpar2i  28469  pjsslem  28994  pjcji  28999
  Copyright terms: Public domain W3C validator