Theorem hvnegdii 31042

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvnegdii	⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

Proof of Theorem hvnegdii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31000	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	oveq2i 7357	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
5		neg1cn 12110	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 30994	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	5, 1, 6	hvdistr1i 31031	. 2 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1mulneg1e1 12333	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
9	8	oveq1i 7356	. . . . 5 ⊢ ((-1 · -1) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
10	5, 5, 2	hvmulassi 31026	. . . . 5 ⊢ ((-1 · -1) ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
11		ax-hvmulid 30986	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
13	9, 10, 12	3eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐵
14	13	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴)) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
15	5, 1	hvmulcli 30994	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
16	5, 6	hvmulcli 30994	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	15, 16	hvcomi 30999	. . 3 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = ((-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
18	2, 1	hvsubvali 31000	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐴))
19	14, 17, 18	3eqtr4i 2764	. 2 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 −ℎ 𝐴)
20	4, 7, 19	3eqtri 2758	1 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐴 −ℎ 𝐵)) = (𝐵 −ℎ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  1c1 11007   · cmul 11011  -cneg 11345   ℋchba 30899   +_ℎ cva 30900   ·_ℎ csm 30901   −_ℎ cmv 30905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-hvcom 30981  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-hvsub 30951

This theorem is referenced by:  hvnegdi  31047  hisubcomi  31084  normsubi  31121  normpar2i  31136  pjsslem  31659  pjcji  31664