HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubdistr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubdistr2 31079
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubdistr2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr2
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 31042 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
213adant2 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
3 hvmulcl 31042 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ)
433adant1 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ)
5 hvsubval 31045 . . 3 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
62, 4, 5syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
7 mulm1 11702 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
87oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-𝐵 · 𝐶))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-𝐵 · 𝐶))
10 neg1cn 12378 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
11 ax-hvmulass 31036 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
1210, 11mp3an1 1447 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
139, 12eqtr3d 2777 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
14133adant1 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
1514oveq2d 7447 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
16 negcl 11506 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
17 ax-hvdistr2 31038 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)))
1816, 17syl3an2 1163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)))
19 negsub 11555 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
20193adant3 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
2120oveq1d 7446 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶))
2218, 21eqtr3d 2777 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐵) · 𝐶))
236, 15, 223eqtr2rd 2782 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950   cmv 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr2 31038
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000
This theorem is referenced by:  hvmulcan2  31102
  Copyright terms: Public domain W3C validator