Theorem hvsubdistr2 31036

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubdistr2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 30999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2	1	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3		hvmulcl 30999	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4	3	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
5		hvsubval 31002	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
7		mulm1 11683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
8	7	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
10		neg1cn 12359	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		ax-hvmulass 30993	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
12	10, 11	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
13	9, 12	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
14	13	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
15	14	oveq2d 7426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
16		negcl 11487	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
17		ax-hvdistr2 30995	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)))
18	16, 17	syl3an2 1164	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)))
19		negsub 11536	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
20	19	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
21	20	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶))
22	18, 21	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶))
23	6, 15, 22	3eqtr2rd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   − cmin 11471  -cneg 11472   ℋchba 30905   +_ℎ cva 30906   ·_ℎ csm 30907   −_ℎ cmv 30911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-hfvmul 30991  ax-hvmulass 30993  ax-hvdistr2 30995

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473  df-neg 11474  df-hvsub 30957

This theorem is referenced by:  hvmulcan2  31059