Theorem hvsubdistr2 30986

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubdistr2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 30949	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2	1	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3		hvmulcl 30949	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4	3	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
5		hvsubval 30952	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
7		mulm1 11626	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
8	7	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
10		neg1cn 12178	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		ax-hvmulass 30943	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
12	10, 11	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
13	9, 12	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
14	13	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
15	14	oveq2d 7406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
16		negcl 11428	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
17		ax-hvdistr2 30945	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)))
18	16, 17	syl3an2 1164	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)))
19		negsub 11477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
20	19	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
21	20	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶))
22	18, 21	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶))
23	6, 15, 22	3eqtr2rd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  -cneg 11413   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857   −_ℎ cmv 30861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr2 30945

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415  df-hvsub 30907

This theorem is referenced by:  hvmulcan2  31009