HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubdistr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubdistr2 28831
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubdistr2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr2
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 28794 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
213adant2 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
3 hvmulcl 28794 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ)
433adant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ)
5 hvsubval 28797 . . 3 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
62, 4, 5syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
7 mulm1 11070 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
87oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-𝐵 · 𝐶))
98adantr 484 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-𝐵 · 𝐶))
10 neg1cn 11739 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
11 ax-hvmulass 28788 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
1210, 11mp3an1 1445 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
139, 12eqtr3d 2859 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
14133adant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 · 𝐶) = (-1 · (𝐵 · 𝐶)))
1514oveq2d 7156 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐶) + (-1 · (𝐵 · 𝐶))))
16 negcl 10875 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
17 ax-hvdistr2 28790 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)))
1816, 17syl3an2 1161 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)))
19 negsub 10923 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
20193adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
2120oveq1d 7155 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) · 𝐶) = ((𝐴𝐵) · 𝐶))
2218, 21eqtr3d 2859 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐵) · 𝐶))
236, 15, 223eqtr2rd 2864 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  -cneg 10860  chba 28700   + cva 28701   · csm 28702   cmv 28706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulass 28788  ax-hvdistr2 28790
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-hvsub 28752
This theorem is referenced by:  hvmulcan2  28854
  Copyright terms: Public domain W3C validator