Theorem hvsubdistr2 28479

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubdistr2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 28442	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2	1	3adant2 1122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3		hvmulcl 28442	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4	3	3adant1 1121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
5		hvsubval 28445	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
6	2, 4, 5	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
7		mulm1 10816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
8	7	oveq1d 6937	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
9	8	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
10		neg1cn 11496	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		ax-hvmulass 28436	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
12	10, 11	mp3an1 1521	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
13	9, 12	eqtr3d 2816	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
14	13	3adant1 1121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
15	14	oveq2d 6938	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
16		negcl 10622	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
17		ax-hvdistr2 28438	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)))
18	16, 17	syl3an2 1164	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)))
19		negsub 10671	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
20	19	3adant3 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
21	20	oveq1d 6937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶))
22	18, 21	eqtr3d 2816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶))
23	6, 15, 22	3eqtr2rd 2821	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   − cmin 10606  -cneg 10607   ℋchba 28348   +_ℎ cva 28349   ·_ℎ csm 28350   −_ℎ cmv 28354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr2 28438

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609  df-hvsub 28400

This theorem is referenced by:  hvmulcan2  28502