Theorem hvsubdistr2 30952

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubdistr2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 30915	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2	1	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3		hvmulcl 30915	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4	3	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
5		hvsubval 30918	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
6	2, 4, 5	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
7		mulm1 11692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
8	7	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
9	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
10		neg1cn 12364	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		ax-hvmulass 30909	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
12	10, 11	mp3an1 1444	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
13	9, 12	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
14	13	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
15	14	oveq2d 7435	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
16		negcl 11497	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
17		ax-hvdistr2 30911	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)))
18	16, 17	syl3an2 1161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)))
19		negsub 11545	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
20	19	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
21	20	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶))
22	18, 21	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶))
23	6, 15, 22	3eqtr2rd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℂcc 11143  1c1 11146   + caddc 11148   · cmul 11150   − cmin 11481  -cneg 11482   ℋchba 30821   +_ℎ cva 30822   ·_ℎ csm 30823   −_ℎ cmv 30827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr2 30911

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-ltxr 11290  df-sub 11483  df-neg 11484  df-hvsub 30873

This theorem is referenced by:  hvmulcan2  30975