Theorem hvsubdistr2 29313

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubdistr2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))

Proof of Theorem hvsubdistr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 29276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2	1	3adant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3		hvmulcl 29276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4	3	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
5		hvsubval 29279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
6	2, 4, 5	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
7		mulm1 11346	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
8	7	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-𝐵 ·ℎ 𝐶))
10		neg1cn 12017	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		ax-hvmulass 29270	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
12	10, 11	mp3an1 1446	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
13	9, 12	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
14	13	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-𝐵 ·ℎ 𝐶) = (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
15	14	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶))))
16		negcl 11151	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
17		ax-hvdistr2 29272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)))
18	16, 17	syl3an2 1162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)))
19		negsub 11199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
20	19	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
21	20	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 + -𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶))
22	18, 21	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-𝐵 ·ℎ 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶))
23	6, 15, 22	3eqtr2rd 2785	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183   ·_ℎ csm 29184   −_ℎ cmv 29188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr2 29272

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138  df-hvsub 29234

This theorem is referenced by:  hvmulcan2  29336