HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubdistr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubdistr2 30034
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubdistr2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆ’โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)))

Proof of Theorem hvsubdistr2
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 29997 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
213adant2 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
3 hvmulcl 29997 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
433adant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
5 hvsubval 30000 . . 3 (((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆ’โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ))))
62, 4, 5syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆ’โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ))))
7 mulm1 11601 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท ๐ต) = -๐ต)
87oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1 ยท ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = (-๐ต ยทโ„Ž ๐ถ))
98adantr 482 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยท ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = (-๐ต ยทโ„Ž ๐ถ))
10 neg1cn 12272 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
11 ax-hvmulass 29991 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยท ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = (-1 ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)))
1210, 11mp3an1 1449 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-1 ยท ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = (-1 ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)))
139, 12eqtr3d 2775 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-๐ต ยทโ„Ž ๐ถ) = (-1 ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)))
14133adant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (-๐ต ยทโ„Ž ๐ถ) = (-1 ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)))
1514oveq2d 7374 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ))))
16 negcl 11406 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
17 ax-hvdistr2 29993 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)))
1816, 17syl3an2 1165 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)))
19 negsub 11454 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + -๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
20193adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด + -๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
2120oveq1d 7373 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + -๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ))
2218, 21eqtr3d 2775 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) +โ„Ž (-๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ))
236, 15, 223eqtr2rd 2780 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยทโ„Ž ๐ถ) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆ’โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904   ยทโ„Ž csm 29905   โˆ’โ„Ž cmv 29909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr2 29993
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-neg 11393  df-hvsub 29955
This theorem is referenced by:  hvmulcan2  30057
  Copyright terms: Public domain W3C validator