Theorem pjmulii 32306

Description: Projection of (scalar) product is product of projection. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjidm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
pjmul.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
pjmulii	⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(𝐶 ·ℎ 𝐴)) = (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))

Proof of Theorem pjmulii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjidm.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	pjpji 32053	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
4	3	oveq2i 7451	. . . 4 ⊢ (𝐶 ·ℎ 𝐴) = (𝐶 ·ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
5		pjmul.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
6	1, 2	pjhclii 32051	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
7	1	choccli 31936	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
8	7, 2	pjhclii 32051	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ
9	5, 6, 8	hvdistr1i 31680	. . . 4 ⊢ (𝐶 ·ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))) = ((𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) +ℎ (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
10	4, 9	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (𝐶 ·ℎ 𝐴) = ((𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) +ℎ (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
11	10	fveq2i 6908	. 2 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(𝐶 ·ℎ 𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) +ℎ (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))))
12	1	chshii 31856	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
13	1, 2	pjclii 32050	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻
14		shmulcl 31847	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻) → (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐻)
15	12, 5, 13, 14	mp3an 1491	. . 3 ⊢ (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐻
16	7	chshii 31856	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ
17	7, 2	pjclii 32050	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)
18		shmulcl 31847	. . . 4 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
19	16, 5, 17, 18	mp3an 1491	. . 3 ⊢ (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻)
20	1	pjcompi 32301	. . 3 ⊢ (((𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐻 ∧ (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻)) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) +ℎ (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))) = (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
21	15, 19, 20	mp2an 705	. 2 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘((𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) +ℎ (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))) = (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
22	11, 21	eqtri 2786	1 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(𝐶 ·ℎ 𝐴)) = (𝐶 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222   ℋchba 31548   +_ℎ cva 31549   ·_ℎ csm 31550   S_ℋ csh 31557   C_ℋ cch 31558  ⊥cort 31559  proj_ℎcpjh 31566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cc 10537  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304  ax-hilex 31628  ax-hfvadd 31629  ax-hvcom 31630  ax-hvass 31631  ax-hv0cl 31632  ax-hvaddid 31633  ax-hfvmul 31634  ax-hvmulid 31635  ax-hvmulass 31636  ax-hvdistr1 31637  ax-hvdistr2 31638  ax-hvmul0 31639  ax-hfi 31708  ax-his1 31711  ax-his2 31712  ax-his3 31713  ax-his4 31714  ax-hcompl 31831

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-lm 23574  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cfil 25603  df-cau 25604  df-cmet 25605  df-grpo 31122  df-gid 31123  df-ginv 31124  df-gdiv 31125  df-ablo 31174  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-vs 31228  df-nmcv 31229  df-ims 31230  df-dip 31330  df-ssp 31351  df-ph 31442  df-cbn 31492  df-hnorm 31597  df-hba 31598  df-hvsub 31600  df-hlim 31601  df-hcau 31602  df-sh 31836  df-ch 31850  df-oc 31881  df-ch0 31882  df-shs 31937  df-pjh 32024

This theorem is used by:  pjsubii  32307  pjmuli  32318