Theorem hvsubsub4i 31003

Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvass.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvass.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvass.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hvadd4.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

Proof of Theorem hvsubsub4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvass.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		neg1cn 12113	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hvass.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 30958	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5		hvass.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	2, 5	hvmulcli 30958	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
7		hvadd4.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
8	2, 7	hvmulcli 30958	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ
9	2, 8	hvmulcli 30958	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
10	1, 4, 6, 9	hvadd4i 31002	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
11	2, 5, 8	hvdistr1i 30995	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
12	11	oveq2i 7360	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
13	2, 3, 8	hvdistr1i 30995	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2i 7360	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
15	10, 12, 14	3eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
16	1, 4	hvaddcli 30962	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	5, 8	hvaddcli 30962	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
18	16, 17	hvsubvali 30964	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
19	1, 6	hvaddcli 30962	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ
20	3, 8	hvaddcli 30962	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
21	19, 20	hvsubvali 30964	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
22	15, 18, 21	3eqtr4i 2762	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
23	1, 3	hvsubvali 30964	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
24	5, 7	hvsubvali 30964	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))
25	23, 24	oveq12i 7361	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
26	1, 5	hvsubvali 30964	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
27	3, 7	hvsubvali 30964	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))
28	26, 27	oveq12i 7361	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
29	22, 25, 28	3eqtr4i 2762	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  1c1 11010  -cneg 11348   ℋchba 30863   +_ℎ cva 30864   ·_ℎ csm 30865   −_ℎ cmv 30869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-hfvadd 30944  ax-hvcom 30945  ax-hvass 30946  ax-hfvmul 30949  ax-hvdistr1 30952

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350  df-hvsub 30915

This theorem is referenced by:  hvsubsub4  31004  pjsslem  31623