Theorem hvsubsub4i 31718

Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvass.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvass.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvass.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hvadd4.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

Proof of Theorem hvsubsub4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvass.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		neg1cn 12345	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hvass.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 31673	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5		hvass.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	2, 5	hvmulcli 31673	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
7		hvadd4.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
8	2, 7	hvmulcli 31673	. . . . . 6 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ
9	2, 8	hvmulcli 31673	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
10	1, 4, 6, 9	hvadd4i 31717	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
11	2, 5, 8	hvdistr1i 31710	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
12	11	oveq2i 7462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
13	2, 3, 8	hvdistr1i 31710	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2i 7462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
15	10, 12, 14	3eqtr4i 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
16	1, 4	hvaddcli 31677	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	5, 8	hvaddcli 31677	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
18	16, 17	hvsubvali 31679	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
19	1, 6	hvaddcli 31677	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ
20	3, 8	hvaddcli 31677	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
21	19, 20	hvsubvali 31679	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
22	15, 18, 21	3eqtr4i 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
23	1, 3	hvsubvali 31679	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
24	5, 7	hvsubvali 31679	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))
25	23, 24	oveq12i 7463	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
26	1, 5	hvsubvali 31679	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))
27	3, 7	hvsubvali 31679	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))
28	26, 27	oveq12i 7463	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
29	22, 25, 28	3eqtr4i 2796	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  1c1 11240   -cneg 11581   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580   −_ℎ cmv 31584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hfvmul 31664  ax-hvdistr1 31667

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-hvsub 31630

This theorem is used by:  hvsubsub4  31719  pjsslem  32338