Theorem hvsubsub4i 31484

Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvass.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvass.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvass.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hvadd4.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

Proof of Theorem hvsubsub4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvass.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		neg1cn 12220	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hvass.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 31439	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5		hvass.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	2, 5	hvmulcli 31439	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
7		hvadd4.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
8	2, 7	hvmulcli 31439	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ
9	2, 8	hvmulcli 31439	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
10	1, 4, 6, 9	hvadd4i 31483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
11	2, 5, 8	hvdistr1i 31476	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
12	11	oveq2i 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
13	2, 3, 8	hvdistr1i 31476	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2i 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
15	10, 12, 14	3eqtr4i 2798	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
16	1, 4	hvaddcli 31443	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	5, 8	hvaddcli 31443	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
18	16, 17	hvsubvali 31445	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
19	1, 6	hvaddcli 31443	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ
20	3, 8	hvaddcli 31443	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
21	19, 20	hvsubvali 31445	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
22	15, 18, 21	3eqtr4i 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
23	1, 3	hvsubvali 31445	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
24	5, 7	hvsubvali 31445	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))
25	23, 24	oveq12i 7431	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
26	1, 5	hvsubvali 31445	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
27	3, 7	hvsubvali 31445	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))
28	26, 27	oveq12i 7431	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
29	22, 25, 28	3eqtr4i 2798	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  1c1 11118  -cneg 11459   ℋchba 31344   +_ℎ cva 31345   ·_ℎ csm 31346   −_ℎ cmv 31350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-hfvadd 31425  ax-hvcom 31426  ax-hvass 31427  ax-hfvmul 31430  ax-hvdistr1 31433

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-ltxr 11265  df-sub 11460  df-neg 11461  df-hvsub 31396

This theorem is used by:  hvsubsub4  31485  pjsslem  32104