HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubsub4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubsub4i 31088
Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvass.1 𝐴 ∈ ℋ
hvass.2 𝐵 ∈ ℋ
hvass.3 𝐶 ∈ ℋ
hvadd4.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvsubsub4i ((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷))

Proof of Theorem hvsubsub4i
StepHypRef Expression
1 hvass.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
2 neg1cn 12378 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
3 hvass.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
42, 3hvmulcli 31043 . . . . 5 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
5 hvass.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℋ
62, 5hvmulcli 31043 . . . . 5 (-1 · 𝐶) ∈ ℋ
7 hvadd4.4 . . . . . . 7 𝐷 ∈ ℋ
82, 7hvmulcli 31043 . . . . . 6 (-1 · 𝐷) ∈ ℋ
92, 8hvmulcli 31043 . . . . 5 (-1 · (-1 · 𝐷)) ∈ ℋ
101, 4, 6, 9hvadd4i 31087 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · (-1 · 𝐷)))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + ((-1 · 𝐵) + (-1 · (-1 · 𝐷))))
112, 5, 8hvdistr1i 31080 . . . . 5 (-1 · (𝐶 + (-1 · 𝐷))) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · (-1 · 𝐷)))
1211oveq2i 7442 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + (-1 · (𝐶 + (-1 · 𝐷)))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · (-1 · 𝐷))))
132, 3, 8hvdistr1i 31080 . . . . 5 (-1 · (𝐵 + (-1 · 𝐷))) = ((-1 · 𝐵) + (-1 · (-1 · 𝐷)))
1413oveq2i 7442 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (-1 · (𝐵 + (-1 · 𝐷)))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + ((-1 · 𝐵) + (-1 · (-1 · 𝐷))))
1510, 12, 143eqtr4i 2773 . . 3 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + (-1 · (𝐶 + (-1 · 𝐷)))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (-1 · (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
161, 4hvaddcli 31047 . . . 4 (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ
175, 8hvaddcli 31047 . . . 4 (𝐶 + (-1 · 𝐷)) ∈ ℋ
1816, 17hvsubvali 31049 . . 3 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − (𝐶 + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + (-1 · (𝐶 + (-1 · 𝐷))))
191, 6hvaddcli 31047 . . . 4 (𝐴 + (-1 · 𝐶)) ∈ ℋ
203, 8hvaddcli 31047 . . . 4 (𝐵 + (-1 · 𝐷)) ∈ ℋ
2119, 20hvsubvali 31049 . . 3 ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) − (𝐵 + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (-1 · (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
2215, 18, 213eqtr4i 2773 . 2 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − (𝐶 + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) − (𝐵 + (-1 · 𝐷)))
231, 3hvsubvali 31049 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
245, 7hvsubvali 31049 . . 3 (𝐶 𝐷) = (𝐶 + (-1 · 𝐷))
2523, 24oveq12i 7443 . 2 ((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) − (𝐶 + (-1 · 𝐷)))
261, 5hvsubvali 31049 . . 3 (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶))
273, 7hvsubvali 31049 . . 3 (𝐵 𝐷) = (𝐵 + (-1 · 𝐷))
2826, 27oveq12i 7443 . 2 ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) − (𝐵 + (-1 · 𝐷)))
2922, 25, 283eqtr4i 2773 1 ((𝐴 𝐵) − (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) − (𝐵 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  1c1 11154  -cneg 11491  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950   cmv 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hfvmul 31034  ax-hvdistr1 31037
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000
This theorem is referenced by:  hvsubsub4  31089  pjsslem  31708
  Copyright terms: Public domain W3C validator