Theorem hvsubsub4i 31661

Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvass.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvass.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvass.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hvadd4.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

Proof of Theorem hvsubsub4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvass.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		neg1cn 12305	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hvass.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 31616	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5		hvass.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	2, 5	hvmulcli 31616	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
7		hvadd4.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
8	2, 7	hvmulcli 31616	. . . . . 6 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ
9	2, 8	hvmulcli 31616	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
10	1, 4, 6, 9	hvadd4i 31660	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
11	2, 5, 8	hvdistr1i 31653	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
12	11	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
13	2, 3, 8	hvdistr1i 31653	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
15	10, 12, 14	3eqtr4i 2794	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
16	1, 4	hvaddcli 31620	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	5, 8	hvaddcli 31620	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
18	16, 17	hvsubvali 31622	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
19	1, 6	hvaddcli 31620	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ
20	3, 8	hvaddcli 31620	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
21	19, 20	hvsubvali 31622	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
22	15, 18, 21	3eqtr4i 2794	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
23	1, 3	hvsubvali 31622	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
24	5, 7	hvsubvali 31622	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))
25	23, 24	oveq12i 7432	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
26	1, 5	hvsubvali 31622	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))
27	3, 7	hvsubvali 31622	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))
28	26, 27	oveq12i 7432	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
29	22, 25, 28	3eqtr4i 2794	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  1c1 11201   -cneg 11542   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   ·_ℎ csm 31523   −_ℎ cmv 31527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hfvmul 31607  ax-hvdistr1 31610

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-hvsub 31573

This theorem is used by:  hvsubsub4  31662  pjsslem  32281