Theorem hvsubsub4i 31673

Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvass.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvass.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvass.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hvadd4.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

Proof of Theorem hvsubsub4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvass.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		neg1cn 12315	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hvass.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 31628	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5		hvass.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	2, 5	hvmulcli 31628	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
7		hvadd4.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
8	2, 7	hvmulcli 31628	. . . . . 6 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ
9	2, 8	hvmulcli 31628	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
10	1, 4, 6, 9	hvadd4i 31672	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
11	2, 5, 8	hvdistr1i 31665	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
12	11	oveq2i 7438	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
13	2, 3, 8	hvdistr1i 31665	. . . . 5 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2i 7438	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
15	10, 12, 14	3eqtr4i 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
16	1, 4	hvaddcli 31632	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	5, 8	hvaddcli 31632	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
18	16, 17	hvsubvali 31634	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
19	1, 6	hvaddcli 31632	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ
20	3, 8	hvaddcli 31632	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
21	19, 20	hvsubvali 31634	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
22	15, 18, 21	3eqtr4i 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
23	1, 3	hvsubvali 31634	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
24	5, 7	hvsubvali 31634	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))
25	23, 24	oveq12i 7439	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
26	1, 5	hvsubvali 31634	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))
27	3, 7	hvsubvali 31634	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))
28	26, 27	oveq12i 7439	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
29	22, 25, 28	3eqtr4i 2796	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  1c1 11211   -cneg 11552   ℋchba 31533   +_ℎ cva 31534   ·_ℎ csm 31535   −_ℎ cmv 31539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-hfvadd 31614  ax-hvcom 31615  ax-hvass 31616  ax-hfvmul 31619  ax-hvdistr1 31622

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358  df-sub 11553  df-neg 11554  df-hvsub 31585

This theorem is used by:  hvsubsub4  31674  pjsslem  32293