Theorem hvsubsub4i 31411

Description: Hilbert vector space addition law. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvass.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvass.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvass.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
hvadd4.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

Proof of Theorem hvsubsub4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvass.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		neg1cn 12198	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hvass.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 31366	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5		hvass.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
6	2, 5	hvmulcli 31366	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
7		hvadd4.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
8	2, 7	hvmulcli 31366	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ
9	2, 8	hvmulcli 31366	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
10	1, 4, 6, 9	hvadd4i 31410	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
11	2, 5, 8	hvdistr1i 31403	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
12	11	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
13	2, 3, 8	hvdistr1i 31403	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
15	10, 12, 14	3eqtr4i 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
16	1, 4	hvaddcli 31370	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
17	5, 8	hvaddcli 31370	. . . 4 ⊢ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
18	16, 17	hvsubvali 31372	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
19	1, 6	hvaddcli 31370	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ
20	3, 8	hvaddcli 31370	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)) ∈ ℋ
21	19, 20	hvsubvali 31372	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
22	15, 18, 21	3eqtr4i 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
23	1, 3	hvsubvali 31372	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
24	5, 7	hvsubvali 31372	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐷) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))
25	23, 24	oveq12i 7422	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) −ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
26	1, 5	hvsubvali 31372	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
27	3, 7	hvsubvali 31372	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))
28	26, 27	oveq12i 7422	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) −ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
29	22, 25, 28	3eqtr4i 2796	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷))

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  1c1 11096  -cneg 11437   ℋchba 31271   +_ℎ cva 31272   ·_ℎ csm 31273   −_ℎ cmv 31277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-hfvadd 31352  ax-hvcom 31353  ax-hvass 31354  ax-hfvmul 31357  ax-hvdistr1 31360

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439  df-hvsub 31323

This theorem is referenced by:  hvsubsub4  31412  pjsslem  32031