HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophmlem2 30959
Description: Lemma for lnophmi 30960. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophmlem.1 𝐴 ∈ ℋ
lnophmlem.2 𝐵 ∈ ℋ
lnophmlem.3 𝑇 ∈ LinOp
lnophmlem.4 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lnophmlem2 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmlem2
StepHypRef Expression
1 lnophmlem.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
2 lnophmlem.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℋ
3 lnophmlem.3 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 30911 . . . . . . . 8 𝑇: ℋ⟶ ℋ
54ffvelcdmi 7034 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
62, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
74ffvelcdmi 7034 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
81, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
91, 6, 2, 8polid2i 30099 . . . . 5 (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) / 4)
101, 2hvcomi 29961 . . . . . . . . 9 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
118, 6hvcomi 29961 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
123lnopaddi 30913 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
132, 1, 12mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
1411, 13eqtr4i 2767 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))
1510, 14oveq12i 7369 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
161, 2, 8, 6hisubcomi 30046 . . . . . . . . 9 ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
173lnopsubi 30916 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
182, 1, 17mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))
1918oveq2i 7368 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))) = ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
2016, 19eqtr4i 2767 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))
2115, 20oveq12i 7369 . . . . . . 7 (((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))))
22 ax-icn 11110 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
2322, 1hvmulcli 29956 . . . . . . . . . . . 12 (i · 𝐵) ∈ ℋ
242, 23hvsubcli 29963 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ
254ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℋ)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℋ
2722, 22, 24, 26his35i 30031 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
2822, 2, 23hvsubdistr1i 29994 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝐴 (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵)))
2922, 2hvmulcli 29956 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · 𝐴) ∈ ℋ
3022, 23hvmulcli 29956 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · (i · 𝐵)) ∈ ℋ
3129, 30hvsubvali 29962 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (-1 · (i · (i · 𝐵))))
3222, 22, 1hvmulassi 29988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝐵) = (i · (i · 𝐵))
3332oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · ((i · i) · 𝐵)) = (-1 · (i · (i · 𝐵)))
34 ixi 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · i) = -1
3534oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · (i · i)) = (-1 · -1)
36 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
3736, 36mul2negi 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · -1) = (1 · 1)
38 1t1e1 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · 1) = 1
3935, 37, 383eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1 · (i · i)) = 1
4039oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 · (i · i)) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
41 neg1cn 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ ℂ
4222, 22mulcli 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) ∈ ℂ
4341, 42, 1hvmulassi 29988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 · (i · i)) · 𝐵) = (-1 · ((i · i) · 𝐵))
44 ax-hvmulid 29948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
451, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝐵) = 𝐵
4640, 43, 453eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · ((i · i) · 𝐵)) = 𝐵
4733, 46eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · (i · (i · 𝐵))) = 𝐵
4847oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) + (-1 · (i · (i · 𝐵)))) = ((i · 𝐴) + 𝐵)
4931, 48eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + 𝐵)
5029, 1hvcomi 29961 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · 𝐴))
5128, 49, 503eqtri 2768 . . . . . . . . . . 11 (i · (𝐴 (i · 𝐵))) = (𝐵 + (i · 𝐴))
5251fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴)))
533lnopmuli 30914 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
5422, 24, 53mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
553lnopaddmuli 30915 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴))))
5622, 1, 2, 55mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))
5752, 54, 563eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . 11 (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))
5851, 57oveq12i 7369 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴))))
59 cji 15044 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘i) = -i
6059oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (∗‘i)) = (i · -i)
6122, 22mulneg2i 11602 . . . . . . . . . . . . 13 (i · -i) = -(i · i)
6234negeqi 11394 . . . . . . . . . . . . . 14 -(i · i) = --1
63 negneg1e1 12271 . . . . . . . . . . . . . 14 --1 = 1
6462, 63eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 -(i · i) = 1
6560, 61, 643eqtri 2768 . . . . . . . . . . . 12 (i · (∗‘i)) = 1
6665oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
67 lnophmlem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
6824, 2, 3, 67lnophmlem1 30958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
6968recni 11169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) ∈ ℂ
7069mulid2i 11160 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7166, 70eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7227, 58, 713eqtr3i 2772 . . . . . . . . 9 ((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7322, 6hvmulcli 29956 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ
741, 29, 8, 73hisubcomi 30046 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = (((i · 𝐴) − 𝐵) ·ih ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
7534oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · 𝐵) = (-1 · 𝐵)
7632, 75eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · (i · 𝐵)) = (-1 · 𝐵)
7776oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) + (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (-1 · 𝐵))
7822, 2, 23hvdistr1i 29993 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (i · (i · 𝐵)))
7929, 1hvsubvali 29962 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) − 𝐵) = ((i · 𝐴) + (-1 · 𝐵))
8077, 78, 793eqtr4i 2774 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) − 𝐵)
8180fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵))
822, 23hvaddcli 29960 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ
833lnopmuli 30914 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
8422, 82, 83mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
853lnopmulsubi 30918 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵)) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
8622, 2, 1, 85mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵)) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵))
8781, 84, 863eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵))
8880, 87oveq12i 7369 . . . . . . . . . . 11 ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((i · 𝐴) − 𝐵) ·ih ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
8974, 88eqtr4i 2767 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
904ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℋ)
9182, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℋ
9222, 22, 82, 91his35i 30031 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
9365oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
9482, 2, 3, 67lnophmlem1 30958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
9594recni 11169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ
9695mulid2i 11160 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9793, 96eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9889, 92, 973eqtri 2768 . . . . . . . . 9 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9972, 98oveq12i 7369 . . . . . . . 8 (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))) = (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
10099oveq2i 7368 . . . . . . 7 (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))))) = (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
10121, 100oveq12i 7369 . . . . . 6 ((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
102101oveq1i 7367 . . . . 5 (((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) / 4) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)
1039, 102eqtri 2764 . . . 4 (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)
104103fveq2i 6845 . . 3 (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴))) = (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4))
105 4ne0 12261 . . . 4 4 ≠ 0
1062, 1hvaddcli 29960 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
107106, 2, 3, 67lnophmlem1 30958 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ
1082, 1hvsubcli 29963 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
109108, 2, 3, 67lnophmlem1 30958 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))) ∈ ℝ
110107, 109resubcli 11463 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℝ
111110recni 11169 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℂ
11268, 94resubcli 11463 . . . . . . . 8 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ
113112recni 11169 . . . . . . 7 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℂ
11422, 113mulcli 11162 . . . . . 6 (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) ∈ ℂ
115111, 114addcli 11161 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) ∈ ℂ
116 4re 12237 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
117116recni 11169 . . . . 5 4 ∈ ℂ
118115, 117cjdivi 15076 . . . 4 (4 ≠ 0 → (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4)))
119105, 118ax-mp 5 . . 3 (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4))
120 cjreim 15045 . . . . . . 7 (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ) → (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))))
121110, 112, 120mp2an 690 . . . . . 6 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
12282, 1, 3, 67lnophmlem1 30958 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
12368, 122resubcli 11463 . . . . . . . . 9 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ
124123recni 11169 . . . . . . . 8 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℂ
12522, 124mulcli 11162 . . . . . . 7 (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) ∈ ℂ
126111, 125negsubi 11479 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
127121, 126eqtr4i 2767 . . . . 5 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
12822, 113mulneg2i 11602 . . . . . . 7 (i · -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
12969, 95negsubdi2i 11487 . . . . . . . 8 -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
130129oveq2i 7368 . . . . . . 7 (i · -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))
131128, 130eqtr3i 2766 . . . . . 6 -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))
132131oveq2i 7368 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))))
13313oveq2i 7368 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
134133, 19oveq12i 7369 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
1353lnopaddmuli 30915 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
13622, 2, 1, 135mp3an 1461 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))
137136oveq2i 7368 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
1383lnopsubmuli 30917 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
13922, 2, 1, 138mp3an 1461 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))
140139oveq2i 7368 . . . . . . . 8 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
141137, 140oveq12i 7369 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))
142141oveq2i 7368 . . . . . 6 (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))
143134, 142oveq12i 7369 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))))
144127, 132, 1433eqtri 2768 . . . 4 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))))
145 cjre 15024 . . . . 5 (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
146116, 145ax-mp 5 . . . 4 (∗‘4) = 4
147144, 146oveq12i 7369 . . 3 ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4)
148104, 119, 1473eqtrri 2769 . 2 (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴)))
1492, 8, 1, 6polid2i 30099 . 2 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4)
1506, 1his1i 30042 . 2 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴)))
151148, 149, 1503eqtr4i 2774 1 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  4c4 12210  ccj 14981  chba 29861   + cva 29862   · csm 29863   ·ih csp 29864   cmv 29867  LinOpclo 29889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-hvsub 29913  df-lnop 30783
This theorem is referenced by:  lnophmi  30960
  Copyright terms: Public domain W3C validator