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Theorem lnophmlem2 31899
Description: Lemma for lnophmi 31900. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophmlem.1 𝐴 ∈ ℋ
lnophmlem.2 𝐵 ∈ ℋ
lnophmlem.3 𝑇 ∈ LinOp
lnophmlem.4 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lnophmlem2 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmlem2
StepHypRef Expression
1 lnophmlem.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
2 lnophmlem.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℋ
3 lnophmlem.3 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 31851 . . . . . . . 8 𝑇: ℋ⟶ ℋ
54ffvelcdmi 7092 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
62, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
74ffvelcdmi 7092 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
81, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
91, 6, 2, 8polid2i 31039 . . . . 5 (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) / 4)
101, 2hvcomi 30901 . . . . . . . . 9 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
118, 6hvcomi 30901 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
123lnopaddi 31853 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
132, 1, 12mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
1411, 13eqtr4i 2756 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴)) = (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))
1510, 14oveq12i 7431 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)))
161, 2, 8, 6hisubcomi 30986 . . . . . . . . 9 ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
173lnopsubi 31856 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
182, 1, 17mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))
1918oveq2i 7430 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))) = ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
2016, 19eqtr4i 2756 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))
2115, 20oveq12i 7431 . . . . . . 7 (((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))))
22 ax-icn 11199 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
2322, 1hvmulcli 30896 . . . . . . . . . . . 12 (i · 𝐵) ∈ ℋ
242, 23hvsubcli 30903 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ
254ffvelcdmi 7092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℋ)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℋ
2722, 22, 24, 26his35i 30971 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
2822, 2, 23hvsubdistr1i 30934 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝐴 (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵)))
2922, 2hvmulcli 30896 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · 𝐴) ∈ ℋ
3022, 23hvmulcli 30896 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · (i · 𝐵)) ∈ ℋ
3129, 30hvsubvali 30902 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (-1 · (i · (i · 𝐵))))
3222, 22, 1hvmulassi 30928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝐵) = (i · (i · 𝐵))
3332oveq2i 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · ((i · i) · 𝐵)) = (-1 · (i · (i · 𝐵)))
34 ixi 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · i) = -1
3534oveq2i 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · (i · i)) = (-1 · -1)
36 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
3736, 36mul2negi 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · -1) = (1 · 1)
38 1t1e1 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · 1) = 1
3935, 37, 383eqtri 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1 · (i · i)) = 1
4039oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 · (i · i)) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
41 neg1cn 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 ∈ ℂ
4222, 22mulcli 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) ∈ ℂ
4341, 42, 1hvmulassi 30928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 · (i · i)) · 𝐵) = (-1 · ((i · i) · 𝐵))
44 ax-hvmulid 30888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℋ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
451, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 𝐵) = 𝐵
4640, 43, 453eqtr3i 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · ((i · i) · 𝐵)) = 𝐵
4733, 46eqtr3i 2755 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · (i · (i · 𝐵))) = 𝐵
4847oveq2i 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) + (-1 · (i · (i · 𝐵)))) = ((i · 𝐴) + 𝐵)
4931, 48eqtri 2753 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) − (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + 𝐵)
5029, 1hvcomi 30901 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · 𝐴))
5128, 49, 503eqtri 2757 . . . . . . . . . . 11 (i · (𝐴 (i · 𝐵))) = (𝐵 + (i · 𝐴))
5251fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴)))
533lnopmuli 31854 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
5422, 24, 53mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(i · (𝐴 (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
553lnopaddmuli 31855 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴))))
5622, 1, 2, 55mp3an 1457 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇‘(𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))
5752, 54, 563eqtr3i 2761 . . . . . . . . . . 11 (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) = ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))
5851, 57oveq12i 7431 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴))))
59 cji 15142 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘i) = -i
6059oveq2i 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (∗‘i)) = (i · -i)
6122, 22mulneg2i 11693 . . . . . . . . . . . . 13 (i · -i) = -(i · i)
6234negeqi 11485 . . . . . . . . . . . . . 14 -(i · i) = --1
63 negneg1e1 12363 . . . . . . . . . . . . . 14 --1 = 1
6462, 63eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . 13 -(i · i) = 1
6560, 61, 643eqtri 2757 . . . . . . . . . . . 12 (i · (∗‘i)) = 1
6665oveq1i 7429 . . . . . . . . . . 11 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
67 lnophmlem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑥)) ∈ ℝ
6824, 2, 3, 67lnophmlem1 31898 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
6968recni 11260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) ∈ ℂ
7069mullidi 11251 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7166, 70eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7227, 58, 713eqtr3i 2761 . . . . . . . . 9 ((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))
7322, 6hvmulcli 30896 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ
741, 29, 8, 73hisubcomi 30986 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = (((i · 𝐴) − 𝐵) ·ih ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
7534oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · 𝐵) = (-1 · 𝐵)
7632, 75eqtr3i 2755 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · (i · 𝐵)) = (-1 · 𝐵)
7776oveq2i 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) + (i · (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (-1 · 𝐵))
7822, 2, 23hvdistr1i 30933 . . . . . . . . . . . . 13 (i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) + (i · (i · 𝐵)))
7929, 1hvsubvali 30902 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) − 𝐵) = ((i · 𝐴) + (-1 · 𝐵))
8077, 78, 793eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐴) − 𝐵)
8180fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵))
822, 23hvaddcli 30900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ
833lnopmuli 31854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
8422, 82, 83mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘(i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
853lnopmulsubi 31858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵)) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
8622, 2, 1, 85mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇‘((i · 𝐴) − 𝐵)) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵))
8781, 84, 863eqtr3i 2761 . . . . . . . . . . . 12 (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵))
8880, 87oveq12i 7431 . . . . . . . . . . 11 ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((i · 𝐴) − 𝐵) ·ih ((i · (𝑇𝐴)) − (𝑇𝐵)))
8974, 88eqtr4i 2756 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
904ffvelcdmi 7092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℋ)
9182, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℋ
9222, 22, 82, 91his35i 30971 . . . . . . . . . 10 ((i · (𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (i · (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
9365oveq1i 7429 . . . . . . . . . . 11 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
9482, 2, 3, 67lnophmlem1 31898 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
9594recni 11260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ
9695mullidi 11251 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9793, 96eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9889, 92, 973eqtri 2757 . . . . . . . . 9 ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
9972, 98oveq12i 7431 . . . . . . . 8 (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))) = (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
10099oveq2i 7430 . . . . . . 7 (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴)))))) = (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
10121, 100oveq12i 7431 . . . . . 6 ((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
102101oveq1i 7429 . . . . 5 (((((𝐵 + 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) + (𝑇𝐴))) − ((𝐵 𝐴) ·ih ((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴)))) + (i · (((𝐵 + (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) + (i · (𝑇𝐴)))) − ((𝐵 (i · 𝐴)) ·ih ((𝑇𝐵) − (i · (𝑇𝐴))))))) / 4) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)
1039, 102eqtri 2753 . . . 4 (𝐵 ·ih (𝑇𝐴)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)
104103fveq2i 6899 . . 3 (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴))) = (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4))
105 4ne0 12353 . . . 4 4 ≠ 0
1062, 1hvaddcli 30900 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
107106, 2, 3, 67lnophmlem1 31898 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ
1082, 1hvsubcli 30903 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
109108, 2, 3, 67lnophmlem1 31898 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵))) ∈ ℝ
110107, 109resubcli 11554 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℝ
111110recni 11260 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℂ
11268, 94resubcli 11554 . . . . . . . 8 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ
113112recni 11260 . . . . . . 7 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℂ
11422, 113mulcli 11253 . . . . . 6 (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) ∈ ℂ
115111, 114addcli 11252 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) ∈ ℂ
116 4re 12329 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
117116recni 11260 . . . . 5 4 ∈ ℂ
118115, 117cjdivi 15174 . . . 4 (4 ≠ 0 → (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4)))
119105, 118ax-mp 5 . . 3 (∗‘(((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4))
120 cjreim 15143 . . . . . . 7 (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ) → (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))))
121110, 112, 120mp2an 690 . . . . . 6 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
12282, 1, 3, 67lnophmlem1 31898 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ
12368, 122resubcli 11554 . . . . . . . . 9 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ
124123recni 11260 . . . . . . . 8 (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℂ
12522, 124mulcli 11253 . . . . . . 7 (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) ∈ ℂ
126111, 125negsubi 11570 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) − (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
127121, 126eqtr4i 2756 . . . . 5 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))
12822, 113mulneg2i 11693 . . . . . . 7 (i · -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
12969, 95negsubdi2i 11578 . . . . . . . 8 -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))
130129oveq2i 7430 . . . . . . 7 (i · -(((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))
131128, 130eqtr3i 2755 . . . . . 6 -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))
132131oveq2i 7430 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))))
13313oveq2i 7430 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
134133, 19oveq12i 7431 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
1353lnopaddmuli 31855 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
13622, 2, 1, 135mp3an 1457 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))
137136oveq2i 7430 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
1383lnopsubmuli 31857 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
13922, 2, 1, 138mp3an 1457 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))
140139oveq2i 7430 . . . . . . . 8 ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
141137, 140oveq12i 7431 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))
142141oveq2i 7430 . . . . . 6 (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))
143134, 142oveq12i 7431 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))))
144127, 132, 1433eqtri 2757 . . . 4 (∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))))))
145 cjre 15122 . . . . 5 (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
146116, 145ax-mp 5 . . . 4 (∗‘4) = 4
147144, 146oveq12i 7431 . . 3 ((∗‘((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 + 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 𝐵)))) + (i · (((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵)))) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))))) / (∗‘4)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4)
148104, 119, 1473eqtrri 2758 . 2 (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴)))
1492, 8, 1, 6polid2i 31039 . 2 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))))) / 4)
1506, 1his1i 30982 . 2 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇𝐴)))
151148, 149, 1503eqtr4i 2763 1 (𝐴 ·ih (𝑇𝐵)) = ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141  ici 11142   + caddc 11143   · cmul 11145  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  4c4 12302  ccj 15079  chba 30801   + cva 30802   · csm 30803   ·ih csp 30804   cmv 30807  LinOpclo 30829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-hvsub 30853  df-lnop 31723
This theorem is referenced by:  lnophmi  31900
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