Theorem lnophmlem2 32036

Description: Lemma for lnophmi 32037. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnophmlem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnophmlem.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
lnophmlem.3	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnophmlem.4	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lnophmlem2	⊢ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnophmlem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2		lnophmlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3		lnophmlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopfi 31988	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	4	ffvelcdmi 7103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
7	4	ffvelcdmi 7103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
9	1, 6, 2, 8	polid2i 31176	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (((((𝐵 +ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴)))) + (i · (((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))))) / 4)
10	1, 2	hvcomi 31038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 +ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐵)
11	8, 6	hvcomi 31038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))
12	3	lnopaddi 31990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
13	2, 1, 12	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))
14	11, 13	eqtr4i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))
15	10, 14	oveq12i 7443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)))
16	1, 2, 8, 6	hisubcomi 31123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
17	3	lnopsubi 31993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
18	2, 1, 17	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵))
19	18	oveq2i 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	16, 19	eqtr4i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
21	15, 20	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 +ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴)))) = (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵))))
22		ax-icn 11214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
23	22, 1	hvmulcli 31033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
24	2, 23	hvsubcli 31040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
25	4	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ∈ ℋ)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ∈ ℋ
27	22, 22, 24, 26	his35i 31108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
28	22, 2, 23	hvsubdistr1i 31071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) −ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
29	22, 2	hvmulcli 31033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
30	22, 23	hvmulcli 31033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
31	29, 30	hvsubvali 31039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) −ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
32	22, 22, 1	hvmulassi 31065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) ·ℎ 𝐵) = (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))
33	32	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 ·ℎ ((i · i) ·ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
34		ixi 11892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (i · i) = -1
35	34	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1 · (i · i)) = (-1 · -1)
36		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
37	36, 36	mul2negi 11711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1 · -1) = (1 · 1)
38		1t1e1 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 · 1) = 1
39	35, 37, 38	3eqtri 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-1 · (i · i)) = 1
40	39	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 · (i · i)) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
41		neg1cn 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -1 ∈ ℂ
42	22, 22	mulcli 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
43	41, 42, 1	hvmulassi 31065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 · (i · i)) ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ ((i · i) ·ℎ 𝐵))
44		ax-hvmulid 31025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
45	1, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
46	40, 43, 45	3eqtr3i 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 ·ℎ ((i · i) ·ℎ 𝐵)) = 𝐵
47	33, 46	eqtr3i 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 ·ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = 𝐵
48	47	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ 𝐵)
49	31, 48	eqtri 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) −ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ 𝐵)
50	29, 1	hvcomi 31038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ 𝐵) = (𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴))
51	28, 49, 50	3eqtri 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴))
52	51	fveq2i 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (𝑇‘(𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)))
53	3	lnopmuli 31991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
54	22, 24, 53	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
55	3	lnopaddmuli 31992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴))) = ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))
56	22, 1, 2, 55	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇‘(𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴))) = ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))
57	52, 54, 56	3eqtr3i 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))
58	51, 57	oveq12i 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))
59		cji 15198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∗‘i) = -i
60	59	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · (∗‘i)) = (i · -i)
61	22, 22	mulneg2i 11710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
62	34	negeqi 11501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(i · i) = --1
63		negneg1e1 12384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ --1 = 1
64	62, 63	eqtri 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(i · i) = 1
65	60, 61, 64	3eqtri 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · (∗‘i)) = 1
66	65	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
67		lnophmlem.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ
68	24, 2, 3, 67	lnophmlem1 32035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
69	68	recni 11275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) ∈ ℂ
70	69	mullidi 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
71	66, 70	eqtri 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
72	27, 58, 71	3eqtr3i 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
73	22, 6	hvmulcli 31033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) ∈ ℋ
74	1, 29, 8, 73	hisubcomi 31123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) = (((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵) ·ih ((i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
75	34	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐵)
76	32, 75	eqtr3i 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ 𝐵)
77	76	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
78	22, 2, 23	hvdistr1i 31070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
79	29, 1	hvsubvali 31039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
80	77, 78, 79	3eqtr4i 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵)
81	80	fveq2i 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (𝑇‘((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵))
82	2, 23	hvaddcli 31037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
83	3	lnopmuli 31991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
84	22, 82, 83	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
85	3	lnopmulsubi 31995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵)) = ((i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
86	22, 2, 1, 85	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇‘((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵)) = ((i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) −ℎ (𝑇‘𝐵))
87	81, 84, 86	3eqtr3i 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) −ℎ (𝑇‘𝐵))
88	80, 87	oveq12i 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵) ·ih ((i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
89	74, 88	eqtr4i 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) = ((i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
90	4	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ∈ ℋ)
91	82, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ∈ ℋ
92	22, 22, 82, 91	his35i 31108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
93	65	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
94	82, 2, 3, 67	lnophmlem1 32035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
95	94	recni 11275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) ∈ ℂ
96	95	mullidi 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
97	93, 96	eqtri 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
98	89, 92, 97	3eqtri 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
99	72, 98	oveq12i 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))) = (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
100	99	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (i · (((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))))) = (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
101	21, 100	oveq12i 7443	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 +ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴)))) + (i · (((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))
102	101	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ (((((𝐵 +ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴)))) + (i · (((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))))) / 4) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) / 4)
103	9, 102	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) / 4)
104	103	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴))) = (∗‘(((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) / 4))
105		4ne0 12374	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
106	2, 1	hvaddcli 31037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ
107	106, 2, 3, 67	lnophmlem1 32035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) ∈ ℝ
108	2, 1	hvsubcli 31040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
109	108, 2, 3, 67	lnophmlem1 32035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵))) ∈ ℝ
110	107, 109	resubcli 11571	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
111	110	recni 11275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) ∈ ℂ
112	68, 94	resubcli 11571	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) ∈ ℝ
113	112	recni 11275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) ∈ ℂ
114	22, 113	mulcli 11268	. . . . . 6 ⊢ (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) ∈ ℂ
115	111, 114	addcli 11267	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) ∈ ℂ
116		4re 12350	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
117	116	recni 11275	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
118	115, 117	cjdivi 15230	. . . 4 ⊢ (4 ≠ 0 → (∗‘(((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) / (∗‘4)))
119	105, 118	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∗‘(((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) / (∗‘4))
120		cjreim 15199	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) ∈ ℝ) → (∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) − (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))))
121	110, 112, 120	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) − (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))
122	82, 1, 3, 67	lnophmlem1 32035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
123	68, 122	resubcli 11571	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) ∈ ℝ
124	123	recni 11275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) ∈ ℂ
125	22, 124	mulcli 11268	. . . . . . 7 ⊢ (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) ∈ ℂ
126	111, 125	negsubi 11587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) − (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))
127	121, 126	eqtr4i 2768	. . . . 5 ⊢ (∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))
128	22, 113	mulneg2i 11710	. . . . . . 7 ⊢ (i · -(((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = -(i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
129	69, 95	negsubdi2i 11595	. . . . . . . 8 ⊢ -(((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
130	129	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (i · -(((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
131	128, 130	eqtr3i 2767	. . . . . 6 ⊢ -(i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
132	131	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))
133	13	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
134	133, 19	oveq12i 7443	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) = (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵))))
135	3	lnopaddmuli 31992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
136	22, 2, 1, 135	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
137	136	oveq2i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
138	3	lnopsubmuli 31994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
139	22, 2, 1, 138	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
140	139	oveq2i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
141	137, 140	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))))
142	141	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))))
143	134, 142	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))))))
144	127, 132, 143	3eqtri 2769	. . . 4 ⊢ (∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))))))
145		cjre 15178	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
146	116, 145	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∗‘4) = 4
147	144, 146	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) / (∗‘4)) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))))) / 4)
148	104, 119, 147	3eqtrri 2770	. 2 ⊢ (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))))) / 4) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)))
149	2, 8, 1, 6	polid2i 31176	. 2 ⊢ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))))) / 4)
150	6, 1	his1i 31119	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)))
151	148, 149, 150	3eqtr4i 2775	1 ⊢ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  4c4 12323  ∗ccj 15135   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939   ·_ℎ csm 30940   ·_ih csp 30941   −_ℎ cmv 30944  LinOpclo 30966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-hvsub 30990  df-lnop 31860

This theorem is referenced by:  lnophmi  32037