HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophmlem2 31008
Description: Lemma for lnophmi 31009. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophmlem.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
lnophmlem.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
lnophmlem.3 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
lnophmlem.4 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
lnophmlem2 (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘‡

Proof of Theorem lnophmlem2
StepHypRef Expression
1 lnophmlem.2 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‹
2 lnophmlem.1 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‹
3 lnophmlem.3 . . . . . . . . 9 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
43lnopfi 30960 . . . . . . . 8 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
54ffvelcdmi 7038 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹)
62, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‹
74ffvelcdmi 7038 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
81, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹
91, 6, 2, 8polid2i 30148 . . . . 5 (๐ต ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = (((((๐ต +โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆ’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) + (i ยท (((๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) โˆ’ ((๐ต โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))))) / 4)
101, 2hvcomi 30010 . . . . . . . . 9 (๐ต +โ„Ž ๐ด) = (๐ด +โ„Ž ๐ต)
118, 6hvcomi 30010 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
123lnopaddi 30962 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
132, 1, 12mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
1411, 13eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)) = (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))
1510, 14oveq12i 7373 . . . . . . . 8 ((๐ต +โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต)))
161, 2, 8, 6hisubcomi 30095 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
173lnopsubi 30965 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
182, 1, 17mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
1918oveq2i 7372 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2016, 19eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
2115, 20oveq12i 7373 . . . . . . 7 (((๐ต +โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆ’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))))
22 ax-icn 11118 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
2322, 1hvmulcli 30005 . . . . . . . . . . . 12 (i ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
242, 23hvsubcli 30012 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹
254ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆˆ โ„‹)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆˆ โ„‹
2722, 22, 24, 26his35i 30080 . . . . . . . . . 10 ((i ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = ((i ยท (โˆ—โ€˜i)) ยท ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
2822, 2, 23hvsubdistr1i 30043 . . . . . . . . . . . 12 (i ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((i ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
2922, 2hvmulcli 30005 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹
3022, 23hvmulcli 30005 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹
3129, 30hvsubvali 30011 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((i ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
3222, 22, 1hvmulassi 30037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ยท i) ยทโ„Ž ๐ต) = (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))
3332oveq2i 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 ยทโ„Ž ((i ยท i) ยทโ„Ž ๐ต)) = (-1 ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
34 ixi 11792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i ยท i) = -1
3534oveq2i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 ยท (i ยท i)) = (-1 ยท -1)
36 ax-1cn 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„‚
3736, 36mul2negi 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 ยท -1) = (1 ยท 1)
38 1t1e1 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ยท 1) = 1
3935, 37, 383eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1 ยท (i ยท i)) = 1
4039oveq1i 7371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 ยท (i ยท i)) ยทโ„Ž ๐ต) = (1 ยทโ„Ž ๐ต)
41 neg1cn 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -1 โˆˆ โ„‚
4222, 22mulcli 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i ยท i) โˆˆ โ„‚
4341, 42, 1hvmulassi 30037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 ยท (i ยท i)) ยทโ„Ž ๐ต) = (-1 ยทโ„Ž ((i ยท i) ยทโ„Ž ๐ต))
44 ax-hvmulid 29997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต)
451, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ยทโ„Ž ๐ต) = ๐ต
4640, 43, 453eqtr3i 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 ยทโ„Ž ((i ยท i) ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ต
4733, 46eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ๐ต
4847oveq2i 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = ((i ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž ๐ต)
4931, 48eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((i ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((i ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž ๐ต)
5029, 1hvcomi 30010 . . . . . . . . . . . 12 ((i ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž ๐ต) = (๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด))
5128, 49, 503eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (i ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = (๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด))
5251fveq2i 6849 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡โ€˜(i ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = (๐‘‡โ€˜(๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)))
533lnopmuli 30963 . . . . . . . . . . . . 13 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(i ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
5422, 24, 53mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡โ€˜(i ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
553lnopaddmuli 30964 . . . . . . . . . . . . 13 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด))) = ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))
5622, 1, 2, 55mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡โ€˜(๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด))) = ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
5752, 54, 563eqtr3i 2769 . . . . . . . . . . 11 (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))
5851, 57oveq12i 7373 . . . . . . . . . 10 ((i ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = ((๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))
59 cji 15053 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ—โ€˜i) = -i
6059oveq2i 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (i ยท (โˆ—โ€˜i)) = (i ยท -i)
6122, 22mulneg2i 11610 . . . . . . . . . . . . 13 (i ยท -i) = -(i ยท i)
6234negeqi 11402 . . . . . . . . . . . . . 14 -(i ยท i) = --1
63 negneg1e1 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 --1 = 1
6462, 63eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 -(i ยท i) = 1
6560, 61, 643eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (i ยท (โˆ—โ€˜i)) = 1
6665oveq1i 7371 . . . . . . . . . . 11 ((i ยท (โˆ—โ€˜i)) ยท ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = (1 ยท ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
67 lnophmlem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„
6824, 2, 3, 67lnophmlem1 31007 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆˆ โ„
6968recni 11177 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆˆ โ„‚
7069mulid2i 11168 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
7166, 70eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((i ยท (โˆ—โ€˜i)) ยท ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
7227, 58, 713eqtr3i 2769 . . . . . . . . 9 ((๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) = ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
7322, 6hvmulcli 30005 . . . . . . . . . . . 12 (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‹
741, 29, 8, 73hisubcomi 30095 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) = (((i ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
7534oveq1i 7371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ยท i) ยทโ„Ž ๐ต) = (-1 ยทโ„Ž ๐ต)
7632, 75eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) = (-1 ยทโ„Ž ๐ต)
7776oveq2i 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((i ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))
7822, 2, 23hvdistr1i 30042 . . . . . . . . . . . . 13 (i ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((i ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
7929, 1hvsubvali 30011 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž ๐ต) = ((i ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))
8077, 78, 793eqtr4i 2771 . . . . . . . . . . . 12 (i ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((i ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž ๐ต)
8180fveq2i 6849 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡โ€˜(i ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = (๐‘‡โ€˜((i ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž ๐ต))
822, 23hvaddcli 30009 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹
833lnopmuli 30963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(i ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
8422, 82, 83mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡โ€˜(i ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
853lnopmulsubi 30967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((i ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
8622, 2, 1, 85mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡โ€˜((i ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
8781, 84, 863eqtr3i 2769 . . . . . . . . . . . 12 (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = ((i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))
8880, 87oveq12i 7373 . . . . . . . . . . 11 ((i ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = (((i ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
8974, 88eqtr4i 2764 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) = ((i ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
904ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆˆ โ„‹)
9182, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆˆ โ„‹
9222, 22, 82, 91his35i 30080 . . . . . . . . . 10 ((i ยทโ„Ž (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) ยทih (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = ((i ยท (โˆ—โ€˜i)) ยท ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
9365oveq1i 7371 . . . . . . . . . . 11 ((i ยท (โˆ—โ€˜i)) ยท ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = (1 ยท ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
9482, 2, 3, 67lnophmlem1 31007 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆˆ โ„
9594recni 11177 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆˆ โ„‚
9695mulid2i 11168 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
9793, 96eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((i ยท (โˆ—โ€˜i)) ยท ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
9889, 92, 973eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) = ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
9972, 98oveq12i 7373 . . . . . . . 8 (((๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) โˆ’ ((๐ต โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
10099oveq2i 7372 . . . . . . 7 (i ยท (((๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) โˆ’ ((๐ต โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))))) = (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))
10121, 100oveq12i 7373 . . . . . 6 ((((๐ต +โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆ’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) + (i ยท (((๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) โˆ’ ((๐ต โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))))) = ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))
102101oveq1i 7371 . . . . 5 (((((๐ต +โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))) โˆ’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) + (i ยท (((๐ต +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด)))) โˆ’ ((๐ต โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ด)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ต) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ด))))))) / 4) = (((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))) / 4)
1039, 102eqtri 2761 . . . 4 (๐ต ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)) = (((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))) / 4)
104103fveq2i 6849 . . 3 (โˆ—โ€˜(๐ต ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด))) = (โˆ—โ€˜(((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))) / 4))
105 4ne0 12269 . . . 4 4 โ‰  0
1062, 1hvaddcli 30009 . . . . . . . . 9 (๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
107106, 2, 3, 67lnophmlem1 31007 . . . . . . . 8 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆˆ โ„
1082, 1hvsubcli 30012 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
109108, 2, 3, 67lnophmlem1 31007 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) โˆˆ โ„
110107, 109resubcli 11471 . . . . . . 7 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) โˆˆ โ„
111110recni 11177 . . . . . 6 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) โˆˆ โ„‚
11268, 94resubcli 11471 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) โˆˆ โ„
113112recni 11177 . . . . . . 7 (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) โˆˆ โ„‚
11422, 113mulcli 11170 . . . . . 6 (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) โˆˆ โ„‚
115111, 114addcli 11169 . . . . 5 ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))) โˆˆ โ„‚
116 4re 12245 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„
117116recni 11177 . . . . 5 4 โˆˆ โ„‚
118115, 117cjdivi 15085 . . . 4 (4 โ‰  0 โ†’ (โˆ—โ€˜(((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))) / 4)) = ((โˆ—โ€˜((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))) / (โˆ—โ€˜4)))
119105, 118ax-mp 5 . . 3 (โˆ—โ€˜(((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))) / 4)) = ((โˆ—โ€˜((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))) / (โˆ—โ€˜4))
120 cjreim 15054 . . . . . . 7 (((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) โˆˆ โ„ โˆง (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ—โ€˜((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))) = ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) โˆ’ (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))))
121110, 112, 120mp2an 691 . . . . . 6 (โˆ—โ€˜((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))) = ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) โˆ’ (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))
12282, 1, 3, 67lnophmlem1 31007 . . . . . . . . . 10 ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆˆ โ„
12368, 122resubcli 11471 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) โˆˆ โ„
124123recni 11177 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) โˆˆ โ„‚
12522, 124mulcli 11170 . . . . . . 7 (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) โˆˆ โ„‚
126111, 125negsubi 11487 . . . . . 6 ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + -(i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))) = ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) โˆ’ (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))
127121, 126eqtr4i 2764 . . . . 5 (โˆ—โ€˜((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))) = ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + -(i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))
12822, 113mulneg2i 11610 . . . . . . 7 (i ยท -(((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) = -(i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))
12969, 95negsubdi2i 11495 . . . . . . . 8 -(((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
130129oveq2i 7372 . . . . . . 7 (i ยท -(((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) = (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))
131128, 130eqtr3i 2763 . . . . . 6 -(i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) = (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))
132131oveq2i 7372 . . . . 5 ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + -(i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))) = ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))
13313oveq2i 7372 . . . . . . 7 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
134133, 19oveq12i 7373 . . . . . 6 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
1353lnopaddmuli 30964 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
13622, 2, 1, 135mp3an 1462 . . . . . . . . 9 (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
137136oveq2i 7372 . . . . . . . 8 ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
1383lnopsubmuli 30966 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
13922, 2, 1, 138mp3an 1462 . . . . . . . . 9 (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
140139oveq2i 7372 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) = ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))
141137, 140oveq12i 7373 . . . . . . 7 (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))) = (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))))
142141oveq2i 7372 . . . . . 6 (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) = (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))))
143134, 142oveq12i 7373 . . . . 5 ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))) = ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))))))
144127, 132, 1433eqtri 2765 . . . 4 (โˆ—โ€˜((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))) = ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))))))
145 cjre 15033 . . . . 5 (4 โˆˆ โ„ โ†’ (โˆ—โ€˜4) = 4)
146116, 145ax-mp 5 . . . 4 (โˆ—โ€˜4) = 4
147144, 146oveq12i 7373 . . 3 ((โˆ—โ€˜((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))) + (i ยท (((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))) โˆ’ ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐‘‡โ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))))) / (โˆ—โ€˜4)) = (((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))))) / 4)
148104, 119, 1473eqtrri 2766 . 2 (((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))))) / 4) = (โˆ—โ€˜(๐ต ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)))
1492, 8, 1, 6polid2i 30148 . 2 (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = (((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) +โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih ((๐‘‡โ€˜๐ด) โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต))))))) / 4)
1506, 1his1i 30091 . 2 ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต) = (โˆ—โ€˜(๐ต ยทih (๐‘‡โ€˜๐ด)))
151148, 149, 1503eqtr4i 2771 1 (๐ด ยทih (๐‘‡โ€˜๐ต)) = ((๐‘‡โ€˜๐ด) ยทih ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  ici 11061   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  4c4 12218  โˆ—ccj 14990   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912   ยทih csp 29913   โˆ’โ„Ž cmv 29916  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvmulass 29998  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-hvsub 29962  df-lnop 30832
This theorem is referenced by:  lnophmi  31009
  Copyright terms: Public domain W3C validator