Theorem lnophmlem2 30379

Description: Lemma for lnophmi 30380. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnophmlem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnophmlem.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
lnophmlem.3	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnophmlem.4	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lnophmlem2	⊢ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnophmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnophmlem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2		lnophmlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3		lnophmlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopfi 30331	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	4	ffvelrni 6960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
7	4	ffvelrni 6960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
9	1, 6, 2, 8	polid2i 29519	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (((((𝐵 +ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴)))) + (i · (((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))))) / 4)
10	1, 2	hvcomi 29381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 +ℎ 𝐴) = (𝐴 +ℎ 𝐵)
11	8, 6	hvcomi 29381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))
12	3	lnopaddi 30333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
13	2, 1, 12	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))
14	11, 13	eqtr4i 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))
15	10, 14	oveq12i 7287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵)))
16	1, 2, 8, 6	hisubcomi 29466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
17	3	lnopsubi 30336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
18	2, 1, 17	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵))
19	18	oveq2i 7286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	16, 19	eqtr4i 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴))) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
21	15, 20	oveq12i 7287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 +ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴)))) = (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵))))
22		ax-icn 10930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
23	22, 1	hvmulcli 29376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
24	2, 23	hvsubcli 29383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
25	4	ffvelrni 6960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ∈ ℋ)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ∈ ℋ
27	22, 22, 24, 26	his35i 29451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
28	22, 2, 23	hvsubdistr1i 29414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) −ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
29	22, 2	hvmulcli 29376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ·ℎ 𝐴) ∈ ℋ
30	22, 23	hvmulcli 29376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
31	29, 30	hvsubvali 29382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) −ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
32	22, 22, 1	hvmulassi 29408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) ·ℎ 𝐵) = (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))
33	32	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 ·ℎ ((i · i) ·ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
34		ixi 11604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (i · i) = -1
35	34	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1 · (i · i)) = (-1 · -1)
36		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
37	36, 36	mul2negi 11423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1 · -1) = (1 · 1)
38		1t1e1 12135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 · 1) = 1
39	35, 37, 38	3eqtri 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-1 · (i · i)) = 1
40	39	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 · (i · i)) ·ℎ 𝐵) = (1 ·ℎ 𝐵)
41		neg1cn 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -1 ∈ ℂ
42	22, 22	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
43	41, 42, 1	hvmulassi 29408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 · (i · i)) ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ ((i · i) ·ℎ 𝐵))
44		ax-hvmulid 29368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵)
45	1, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ·ℎ 𝐵) = 𝐵
46	40, 43, 45	3eqtr3i 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 ·ℎ ((i · i) ·ℎ 𝐵)) = 𝐵
47	33, 46	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 ·ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = 𝐵
48	47	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ 𝐵)
49	31, 48	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) −ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ 𝐵)
50	29, 1	hvcomi 29381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ 𝐵) = (𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴))
51	28, 49, 50	3eqtri 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴))
52	51	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (𝑇‘(𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)))
53	3	lnopmuli 30334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
54	22, 24, 53	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
55	3	lnopaddmuli 30335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴))) = ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))
56	22, 1, 2, 55	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇‘(𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴))) = ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))
57	52, 54, 56	3eqtr3i 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))
58	51, 57	oveq12i 7287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ·ℎ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))
59		cji 14870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∗‘i) = -i
60	59	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · (∗‘i)) = (i · -i)
61	22, 22	mulneg2i 11422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
62	34	negeqi 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(i · i) = --1
63		negneg1e1 12091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ --1 = 1
64	62, 63	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(i · i) = 1
65	60, 61, 64	3eqtri 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · (∗‘i)) = 1
66	65	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
67		lnophmlem.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ
68	24, 2, 3, 67	lnophmlem1 30378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
69	68	recni 10989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) ∈ ℂ
70	69	mulid2i 10980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
71	66, 70	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
72	27, 58, 71	3eqtr3i 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
73	22, 6	hvmulcli 29376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) ∈ ℋ
74	1, 29, 8, 73	hisubcomi 29466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) = (((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵) ·ih ((i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
75	34	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) ·ℎ 𝐵) = (-1 ·ℎ 𝐵)
76	32, 75	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ 𝐵)
77	76	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
78	22, 2, 23	hvdistr1i 29413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (i ·ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
79	29, 1	hvsubvali 29382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵) = ((i ·ℎ 𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
80	77, 78, 79	3eqtr4i 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵)
81	80	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (𝑇‘((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵))
82	2, 23	hvaddcli 29380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
83	3	lnopmuli 30334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
84	22, 82, 83	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇‘(i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
85	3	lnopmulsubi 30338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵)) = ((i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
86	22, 2, 1, 85	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇‘((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵)) = ((i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) −ℎ (𝑇‘𝐵))
87	81, 84, 86	3eqtr3i 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) −ℎ (𝑇‘𝐵))
88	80, 87	oveq12i 7287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (((i ·ℎ 𝐴) −ℎ 𝐵) ·ih ((i ·ℎ (𝑇‘𝐴)) −ℎ (𝑇‘𝐵)))
89	74, 88	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) = ((i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
90	4	ffvelrni 6960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ∈ ℋ)
91	82, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ∈ ℋ
92	22, 22, 82, 91	his35i 29451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ·ℎ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) ·ih (i ·ℎ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
93	65	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
94	82, 2, 3, 67	lnophmlem1 30378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
95	94	recni 10989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) ∈ ℂ
96	95	mulid2i 10980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
97	93, 96	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
98	89, 92, 97	3eqtri 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
99	72, 98	oveq12i 7287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))) = (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
100	99	oveq2i 7286	. . . . . . 7 ⊢ (i · (((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))))) = (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
101	21, 100	oveq12i 7287	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 +ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴)))) + (i · (((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))
102	101	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ (((((𝐵 +ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −ℎ 𝐴) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (𝑇‘𝐴)))) + (i · (((𝐵 +ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −ℎ (i ·ℎ 𝐴)) ·ih ((𝑇‘𝐵) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐴))))))) / 4) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) / 4)
103	9, 102	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) / 4)
104	103	fveq2i 6777	. . 3 ⊢ (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴))) = (∗‘(((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) / 4))
105		4ne0 12081	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
106	2, 1	hvaddcli 29380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ
107	106, 2, 3, 67	lnophmlem1 30378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) ∈ ℝ
108	2, 1	hvsubcli 29383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
109	108, 2, 3, 67	lnophmlem1 30378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵))) ∈ ℝ
110	107, 109	resubcli 11283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
111	110	recni 10989	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) ∈ ℂ
112	68, 94	resubcli 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) ∈ ℝ
113	112	recni 10989	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) ∈ ℂ
114	22, 113	mulcli 10982	. . . . . 6 ⊢ (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) ∈ ℂ
115	111, 114	addcli 10981	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) ∈ ℂ
116		4re 12057	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
117	116	recni 10989	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
118	115, 117	cjdivi 14902	. . . 4 ⊢ (4 ≠ 0 → (∗‘(((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) / (∗‘4)))
119	105, 118	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∗‘(((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) / (∗‘4))
120		cjreim 14871	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) ∈ ℝ) → (∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) − (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))))
121	110, 112, 120	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) − (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))
122	82, 1, 3, 67	lnophmlem1 30378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
123	68, 122	resubcli 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) ∈ ℝ
124	123	recni 10989	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) ∈ ℂ
125	22, 124	mulcli 10982	. . . . . . 7 ⊢ (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) ∈ ℂ
126	111, 125	negsubi 11299	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) − (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))
127	121, 126	eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ (∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))
128	22, 113	mulneg2i 11422	. . . . . . 7 ⊢ (i · -(((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = -(i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
129	69, 95	negsubdi2i 11307	. . . . . . . 8 ⊢ -(((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
130	129	oveq2i 7286	. . . . . . 7 ⊢ (i · -(((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
131	128, 130	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ -(i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
132	131	oveq2i 7286	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))
133	13	oveq2i 7286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵)))
134	133, 19	oveq12i 7287	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) = (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵))))
135	3	lnopaddmuli 30335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
136	22, 2, 1, 135	mp3an 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
137	136	oveq2i 7286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
138	3	lnopsubmuli 30337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
139	22, 2, 1, 138	mp3an 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
140	139	oveq2i 7286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))
141	137, 140	oveq12i 7287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))) = (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))))
142	141	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))))
143	134, 142	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))))))
144	127, 132, 143	3eqtri 2770	. . . 4 ⊢ (∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))))))
145		cjre 14850	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
146	116, 145	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∗‘4) = 4
147	144, 146	oveq12i 7287	. . 3 ⊢ ((∗‘((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝑇‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))))) / (∗‘4)) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))))) / 4)
148	104, 119, 147	3eqtrri 2771	. 2 ⊢ (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))))) / 4) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)))
149	2, 8, 1, 6	polid2i 29519	. 2 ⊢ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) +ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih ((𝑇‘𝐴) −ℎ (i ·ℎ (𝑇‘𝐵))))))) / 4)
150	6, 1	his1i 29462	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih (𝑇‘𝐴)))
151	148, 149, 150	3eqtr4i 2776	1 ⊢ (𝐴 ·ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·ih 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  4c4 12030  ∗ccj 14807   ℋchba 29281   +_ℎ cva 29282   ·_ℎ csm 29283   ·_ih csp 29284   −_ℎ cmv 29287  LinOpclo 29309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-hvsub 29333  df-lnop 30203

This theorem is referenced by:  lnophmi  30380