lnophmlem2 - Hilbert Space Explorer

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Theorem lnophmlem2 31265

Description: Lemma for lnophmi 31266. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lnophmlem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
lnophmlem.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
lnophmlem.3	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnophmlem.4	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·_ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ

**Assertion**
Ref	Expression
lnophmlem2	⊢ (𝐴 ·_ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝑇

**Proof of Theorem lnophmlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnophmlem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
2		lnophmlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3		lnophmlem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopfi 31217	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5	4	ffvelcdmi 7085	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ
7	4	ffvelcdmi 7085	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ
9	1, 6, 2, 8	polid2i 30405	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ·_ih (𝑇‘𝐴)) = (((((𝐵 +_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (𝑇‘𝐴)))) + (i · (((𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴))))))) / 4)
10	1, 2	hvcomi 30267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 +_ℎ 𝐴) = (𝐴 +_ℎ 𝐵)
11	8, 6	hvcomi 30267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (𝑇‘𝐴)) = ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (𝑇‘𝐵))
12	3	lnopaddi 31219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (𝑇‘𝐵)))
13	2, 1, 12	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (𝑇‘𝐵))
14	11, 13	eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))
15	10, 14	oveq12i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (𝑇‘𝐴))) = ((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵)))
16	1, 2, 8, 6	hisubcomi 30352	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 −_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (𝑇‘𝐴))) = ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))
17	3	lnopsubi 31222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))
18	2, 1, 17	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (𝑇‘𝐵))
19	18	oveq2i 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))) = ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))
20	16, 19	eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 −_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (𝑇‘𝐴))) = ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))
21	15, 20	oveq12i 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 +_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (𝑇‘𝐴)))) = (((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))))
22		ax-icn 11168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
23	22, 1	hvmulcli 30262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·_ℎ 𝐵) ∈ ℋ
24	2, 23	hvsubcli 30269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
25	4	ffvelcdmi 7085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ∈ ℋ)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ∈ ℋ
27	22, 22, 24, 26	his35i 30337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ·_ℎ (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
28	22, 2, 23	hvsubdistr1i 30300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·_ℎ (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((i ·_ℎ 𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
29	22, 2	hvmulcli 30262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ·_ℎ 𝐴) ∈ ℋ
30	22, 23	hvmulcli 30262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
31	29, 30	hvsubvali 30268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·_ℎ 𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((i ·_ℎ 𝐴) +_ℎ (-1 ·_ℎ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
32	22, 22, 1	hvmulassi 30294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) ·_ℎ 𝐵) = (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))
33	32	oveq2i 7419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 ·_ℎ ((i · i) ·_ℎ 𝐵)) = (-1 ·_ℎ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
34		ixi 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (i · i) = -1
35	34	oveq2i 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1 · (i · i)) = (-1 · -1)
36		ax-1cn 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
37	36, 36	mul2negi 11661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-1 · -1) = (1 · 1)
38		1t1e1 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 · 1) = 1
39	35, 37, 38	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-1 · (i · i)) = 1
40	39	oveq1i 7418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 · (i · i)) ·_ℎ 𝐵) = (1 ·_ℎ 𝐵)
41		neg1cn 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -1 ∈ ℂ
42	22, 22	mulcli 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
43	41, 42, 1	hvmulassi 30294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 · (i · i)) ·_ℎ 𝐵) = (-1 ·_ℎ ((i · i) ·_ℎ 𝐵))
44		ax-hvmulid 30254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (1 ·_ℎ 𝐵) = 𝐵)
45	1, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ·_ℎ 𝐵) = 𝐵
46	40, 43, 45	3eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 ·_ℎ ((i · i) ·_ℎ 𝐵)) = 𝐵
47	33, 46	eqtr3i 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 ·_ℎ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = 𝐵
48	47	oveq2i 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·_ℎ 𝐴) +_ℎ (-1 ·_ℎ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = ((i ·_ℎ 𝐴) +_ℎ 𝐵)
49	31, 48	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ·_ℎ 𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((i ·_ℎ 𝐴) +_ℎ 𝐵)
50	29, 1	hvcomi 30267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ·_ℎ 𝐴) +_ℎ 𝐵) = (𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴))
51	28, 49, 50	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ·_ℎ (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = (𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴))
52	51	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇‘(i ·_ℎ (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (𝑇‘(𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)))
53	3	lnopmuli 31220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i ·_ℎ (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
54	22, 24, 53	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇‘(i ·_ℎ (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
55	3	lnopaddmuli 31221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴))) = ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴))))
56	22, 1, 2, 55	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇‘(𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴))) = ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))
57	52, 54, 56	3eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))
58	51, 57	oveq12i 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ·_ℎ (𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = ((𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴))))
59		cji 15105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∗‘i) = -i
60	59	oveq2i 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · (∗‘i)) = (i · -i)
61	22, 22	mulneg2i 11660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
62	34	negeqi 11452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(i · i) = --1
63		negneg1e1 12329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ --1 = 1
64	62, 63	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(i · i) = 1
65	60, 61, 64	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · (∗‘i)) = 1
66	65	oveq1i 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
67		lnophmlem.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑥 ·_ih (𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ
68	24, 2, 3, 67	lnophmlem1 31264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
69	68	recni 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) ∈ ℂ
70	69	mullidi 11218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
71	66, 70	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
72	27, 58, 71	3eqtr3i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))) = ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
73	22, 6	hvmulcli 30262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)) ∈ ℋ
74	1, 29, 8, 73	hisubcomi 30352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))) = (((i ·_ℎ 𝐴) −_ℎ 𝐵) ·_ih ((i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))
75	34	oveq1i 7418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) ·_ℎ 𝐵) = (-1 ·_ℎ 𝐵)
76	32, 75	eqtr3i 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) = (-1 ·_ℎ 𝐵)
77	76	oveq2i 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·_ℎ 𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((i ·_ℎ 𝐴) +_ℎ (-1 ·_ℎ 𝐵))
78	22, 2, 23	hvdistr1i 30299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ·_ℎ (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((i ·_ℎ 𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))
79	29, 1	hvsubvali 30268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ·_ℎ 𝐴) −_ℎ 𝐵) = ((i ·_ℎ 𝐴) +_ℎ (-1 ·_ℎ 𝐵))
80	77, 78, 79	3eqtr4i 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·_ℎ (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((i ·_ℎ 𝐴) −_ℎ 𝐵)
81	80	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇‘(i ·_ℎ (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (𝑇‘((i ·_ℎ 𝐴) −_ℎ 𝐵))
82	2, 23	hvaddcli 30266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
83	3	lnopmuli 31220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ) → (𝑇‘(i ·_ℎ (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
84	22, 82, 83	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇‘(i ·_ℎ (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
85	3	lnopmulsubi 31224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((i ·_ℎ 𝐴) −_ℎ 𝐵)) = ((i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))
86	22, 2, 1, 85	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇‘((i ·_ℎ 𝐴) −_ℎ 𝐵)) = ((i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)) −_ℎ (𝑇‘𝐵))
87	81, 84, 86	3eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = ((i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)) −_ℎ (𝑇‘𝐵))
88	80, 87	oveq12i 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ·_ℎ (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (((i ·_ℎ 𝐴) −_ℎ 𝐵) ·_ih ((i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))
89	74, 88	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))) = ((i ·_ℎ (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
90	4	ffvelcdmi 7085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ∈ ℋ)
91	82, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ∈ ℋ
92	22, 22, 82, 91	his35i 30337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ·_ℎ (𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) ·_ih (i ·_ℎ (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
93	65	oveq1i 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (1 · ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
94	82, 2, 3, 67	lnophmlem1 31264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
95	94	recni 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) ∈ ℂ
96	95	mullidi 11218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
97	93, 96	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · (∗‘i)) · ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
98	89, 92, 97	3eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))) = ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))
99	72, 98	oveq12i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴))))) = (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
100	99	oveq2i 7419	. . . . . . 7 ⊢ (i · (((𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))))) = (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))
101	21, 100	oveq12i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 +_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (𝑇‘𝐴)))) + (i · (((𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴))))))) = ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))
102	101	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ (((((𝐵 +_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (𝑇‘𝐴))) − ((𝐵 −_ℎ 𝐴) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (𝑇‘𝐴)))) + (i · (((𝐵 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴)))) − ((𝐵 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐴)) ·_ih ((𝑇‘𝐵) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐴))))))) / 4) = (((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))) / 4)
103	9, 102	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (𝐵 ·_ih (𝑇‘𝐴)) = (((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))) / 4)
104	103	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (∗‘(𝐵 ·_ih (𝑇‘𝐴))) = (∗‘(((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))) / 4))
105		4ne0 12319	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
106	2, 1	hvaddcli 30266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 +_ℎ 𝐵) ∈ ℋ
107	106, 2, 3, 67	lnophmlem1 31264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) ∈ ℝ
108	2, 1	hvsubcli 30269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ
109	108, 2, 3, 67	lnophmlem1 31264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))) ∈ ℝ
110	107, 109	resubcli 11521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
111	110	recni 11227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) ∈ ℂ
112	68, 94	resubcli 11521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) ∈ ℝ
113	112	recni 11227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) ∈ ℂ
114	22, 113	mulcli 11220	. . . . . 6 ⊢ (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) ∈ ℂ
115	111, 114	addcli 11219	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))) ∈ ℂ
116		4re 12295	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
117	116	recni 11227	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
118	115, 117	cjdivi 15137	. . . 4 ⊢ (4 ≠ 0 → (∗‘(((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))) / (∗‘4)))
119	105, 118	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∗‘(((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))) / 4)) = ((∗‘((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))) / (∗‘4))
120		cjreim 15106	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) ∈ ℝ) → (∗‘((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) − (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))))
121	110, 112, 120	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (∗‘((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) − (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))
122	82, 1, 3, 67	lnophmlem1 31264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) ∈ ℝ
123	68, 122	resubcli 11521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) ∈ ℝ
124	123	recni 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) ∈ ℂ
125	22, 124	mulcli 11220	. . . . . . 7 ⊢ (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) ∈ ℂ
126	111, 125	negsubi 11537	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))) = ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) − (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))
127	121, 126	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ (∗‘((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))
128	22, 113	mulneg2i 11660	. . . . . . 7 ⊢ (i · -(((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = -(i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))
129	69, 95	negsubdi2i 11545	. . . . . . . 8 ⊢ -(((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))
130	129	oveq2i 7419	. . . . . . 7 ⊢ (i · -(((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))
131	128, 130	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ -(i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))
132	131	oveq2i 7419	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + -(i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))) = ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))
133	13	oveq2i 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) = ((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (𝑇‘𝐵)))
134	133, 19	oveq12i 7420	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) = (((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (𝑇‘𝐵))))
135	3	lnopaddmuli 31221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵))))
136	22, 2, 1, 135	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))
137	136	oveq2i 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵))))
138	3	lnopsubmuli 31223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵))))
139	22, 2, 1, 138	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))) = ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))
140	139	oveq2i 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) = ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵))))
141	137, 140	oveq12i 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))) = (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))))
142	141	oveq2i 7419	. . . . . 6 ⊢ (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))) = (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵))))))
143	134, 142	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵))))))) = ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))))))
144	127, 132, 143	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (∗‘((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))) = ((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))))))
145		cjre 15085	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
146	116, 145	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∗‘4) = 4
147	144, 146	oveq12i 7420	. . 3 ⊢ ((∗‘((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))) + (i · (((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))) − ((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih (𝑇‘(𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)))))))) / (∗‘4)) = (((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵))))))) / 4)
148	104, 119, 147	3eqtrri 2765	. 2 ⊢ (((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵))))))) / 4) = (∗‘(𝐵 ·_ih (𝑇‘𝐴)))
149	2, 8, 1, 6	polid2i 30405	. 2 ⊢ (𝐴 ·_ih (𝑇‘𝐵)) = (((((𝐴 +_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (𝑇‘𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (𝑇‘𝐵)))) + (i · (((𝐴 +_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) +_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵)))) − ((𝐴 −_ℎ (i ·_ℎ 𝐵)) ·_ih ((𝑇‘𝐴) −_ℎ (i ·_ℎ (𝑇‘𝐵))))))) / 4)
150	6, 1	his1i 30348	. 2 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·_ih (𝑇‘𝐴)))
151	148, 149, 150	3eqtr4i 2770	1 ⊢ (𝐴 ·_ih (𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴) ·_ih 𝐵)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ‘cfv 6543 (class class class)co 7408 ℂcc 11107 ℝcr 11108 0cc0 11109 1c1 11110 ici 11111 + caddc 11112 · cmul 11114 − cmin 11443 -cneg 11444 / cdiv 11870 4c4 12268 ∗ccj 15042 ℋchba 30167 +_ℎ cva 30168 ·_ℎ csm 30169 ·_ih csp 30170 −_ℎ cmv 30173 LinOpclo 30195

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-hilex 30247 ax-hfvadd 30248 ax-hvcom 30249 ax-hvass 30250 ax-hv0cl 30251 ax-hvaddid 30252 ax-hfvmul 30253 ax-hvmulid 30254 ax-hvmulass 30255 ax-hvdistr1 30256 ax-hvdistr2 30257 ax-hvmul0 30258 ax-hfi 30327 ax-his1 30330 ax-his2 30331 ax-his3 30332

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-po 5588 df-so 5589 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-er 8702 df-map 8821 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-hvsub 30219 df-lnop 31089

This theorem is referenced by: lnophmi 31266

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