Users' Mathboxes Mathbox for Rodolfo Medina < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prtlem70 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prtlem70 36146
Description: Lemma for prter3 36171: a rearrangement of conjuncts. (Contributed by Rodolfo Medina, 20-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
prtlem70 ((((𝜓𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜑) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ (𝜃𝜏)))) ∧ 𝜂))

Proof of Theorem prtlem70
StepHypRef Expression
1 anass 472 . . . 4 ((((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜃)) ∧ (𝜒𝜏)) ↔ ((𝜑𝜓) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))))
21anbi1i 626 . . 3 (((((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜃)) ∧ (𝜒𝜏)) ∧ 𝜂) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜂))
3 anandi 675 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ↔ ((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜃)))
43anbi1i 626 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ∧ (𝜒𝜏)) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜃)) ∧ (𝜒𝜏)))
54anbi1i 626 . . 3 ((((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ∧ (𝜒𝜏)) ∧ 𝜂) ↔ ((((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜃)) ∧ (𝜒𝜏)) ∧ 𝜂))
6 anass 472 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝜓𝜂)) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ↔ (𝜑 ∧ ((𝜓𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏)))))
7 anass 472 . . . . . 6 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜂) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓𝜂)))
87anbi1i 626 . . . . 5 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓𝜂)) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))))
9 ancom 464 . . . . 5 ((((𝜓𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜑) ↔ (𝜑 ∧ ((𝜓𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏)))))
106, 8, 93bitr4ri 307 . . . 4 ((((𝜓𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜑) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ 𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))))
11 ancom 464 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜂) ↔ (𝜂 ∧ (𝜑𝜓)))
1211anbi1i 626 . . . 4 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ↔ ((𝜂 ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))))
13 anass 472 . . . . 5 (((𝜂 ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ↔ (𝜂 ∧ ((𝜑𝜓) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏)))))
14 ancom 464 . . . . 5 ((𝜂 ∧ ((𝜑𝜓) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏)))) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜂))
1513, 14bitri 278 . . . 4 (((𝜂 ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜂))
1610, 12, 153bitri 300 . . 3 ((((𝜓𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜑) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜂))
172, 5, 163bitr4ri 307 . 2 ((((𝜓𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜑) ↔ (((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ∧ (𝜒𝜏)) ∧ 𝜂))
18 anass 472 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ∧ (𝜒𝜏)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝜏))))
1918anbi1i 626 . 2 ((((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ∧ (𝜒𝜏)) ∧ 𝜂) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜂))
20 an4 655 . . . . 5 (((𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝜏)) ↔ ((𝜓𝜒) ∧ (𝜃𝜏)))
21 anass 472 . . . . 5 (((𝜓𝜒) ∧ (𝜃𝜏)) ↔ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ (𝜃𝜏))))
2220, 21bitri 278 . . . 4 (((𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝜏)) ↔ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ (𝜃𝜏))))
2322anbi2i 625 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ (𝜃𝜏)))))
2423anbi1i 626 . 2 (((𝜑 ∧ ((𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜂) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ (𝜃𝜏)))) ∧ 𝜂))
2517, 19, 243bitri 300 1 ((((𝜓𝜂) ∧ ((𝜑𝜃) ∧ (𝜒𝜏))) ∧ 𝜑) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ (𝜒 ∧ (𝜃𝜏)))) ∧ 𝜂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator