Theorem cnvuni 4895

Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members. (Contributed by set.mm contributors, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cnvuni	|- `'U.A = U_x e. A `'x

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem cnvuni

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnv2 4890	. . . 4 |- (y e. `'U.A <-> E.zE.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. U.A))
2		eluni2 3895	. . . . . . 7 |- (<.w, z>. e. U.A <-> E.x e. A <.w, z>. e. x)
3	2	anbi2i 675	. . . . . 6 |- ((y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. U.A) <-> (y = <.z, w>. /\ E.x e. A <.w, z>. e. x))
4		r19.42v 2765	. . . . . 6 |- (E.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x) <-> (y = <.z, w>. /\ E.x e. A <.w, z>. e. x))
5	3, 4	bitr4i 243	. . . . 5 |- ((y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. U.A) <-> E.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
6	5	2exbii 1583	. . . 4 |- (E.zE.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. U.A) <-> E.zE.wE.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
7		elcnv2 4890	. . . . . 6 |- (y e. `'x <-> E.zE.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
8	7	rexbii 2639	. . . . 5 |- (E.x e. A y e. `'x <-> E.x e. A E.zE.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
9		rexcom4 2878	. . . . 5 |- (E.x e. A E.zE.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x) <-> E.zE.x e. A E.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
10		rexcom4 2878	. . . . . 6 |- (E.x e. A E.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x) <-> E.wE.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
11	10	exbii 1582	. . . . 5 |- (E.zE.x e. A E.w(y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x) <-> E.zE.wE.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x))
12	8, 9, 11	3bitrri 263	. . . 4 |- (E.zE.wE.x e. A (y = <.z, w>. /\ <.w, z>. e. x) <-> E.x e. A y e. `'x)
13	1, 6, 12	3bitri 262	. . 3 |- (y e. `'U.A <-> E.x e. A y e. `'x)
14		eliun 3973	. . 3 |- (y e. U_x e. A `'x <-> E.x e. A y e. `'x)
15	13, 14	bitr4i 243	. 2 |- (y e. `'U.A <-> y e. U_x e. A `'x)
16	15	eqriv 2350	1 |- `'U.A = U_x e. A `'x

Syntax hints:   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  E.wrex 2615  U.cuni 3891  U_ciun 3969  <.cop 4561  `'ccnv 4771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-opab 4623  df-br 4640  df-cnv 4785

This theorem is referenced by:  funcnvuni  5161