Theorem elswap 4741

Description: Membership in the Swap function. (Contributed by SF, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elswap	|- (A e. Swap <-> E.xE.y A = <.<.x, y>., <.y, x>.>.)

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem elswap

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-swap 4725	. . . 4 |- Swap = {<.z, w>. | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)}
2	1	eleq2i 2417	. . 3 |- (A e. Swap <-> A e. {<.z, w>. | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)})
3		elopab 4697	. . 3 |- (A e. {<.z, w>. | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)} <-> E.zE.w(A = <.z, w>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)))
4	2, 3	bitri 240	. 2 |- (A e. Swap <-> E.zE.w(A = <.z, w>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)))
5		exrot4 1745	. . 3 |- (E.zE.wE.xE.y(A = <.z, w>. /\ (z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)) <-> E.xE.yE.zE.w(A = <.z, w>. /\ (z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)))
6		19.42vv 1907	. . . 4 |- (E.xE.y(A = <.z, w>. /\ (z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)) <-> (A = <.z, w>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)))
7	6	2exbii 1583	. . 3 |- (E.zE.wE.xE.y(A = <.z, w>. /\ (z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)) <-> E.zE.w(A = <.z, w>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)))
8		df-3an 936	. . . . . . 7 |- ((z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>. /\ A = <.z, w>.) <-> ((z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.) /\ A = <.z, w>.))
9		ancom 437	. . . . . . 7 |- (((z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.) /\ A = <.z, w>.) <-> (A = <.z, w>. /\ (z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)))
10	8, 9	bitr2i 241	. . . . . 6 |- ((A = <.z, w>. /\ (z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)) <-> (z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>. /\ A = <.z, w>.))
11	10	2exbii 1583	. . . . 5 |- (E.zE.w(A = <.z, w>. /\ (z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)) <-> E.zE.w(z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>. /\ A = <.z, w>.))
12		vex 2863	. . . . . . 7 |- x e. _V
13		vex 2863	. . . . . . 7 |- y e. _V
14	12, 13	opex 4589	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. _V
15	13, 12	opex 4589	. . . . . 6 |- <.y, x>. e. _V
16		opeq1 4579	. . . . . . 7 |- (z = <.x, y>. -> <.z, w>. = <.<.x, y>., w>.)
17	16	eqeq2d 2364	. . . . . 6 |- (z = <.x, y>. -> (A = <.z, w>. <-> A = <.<.x, y>., w>.))
18		opeq2 4580	. . . . . . 7 |- (w = <.y, x>. -> <.<.x, y>., w>. = <.<.x, y>., <.y, x>.>.)
19	18	eqeq2d 2364	. . . . . 6 |- (w = <.y, x>. -> (A = <.<.x, y>., w>. <-> A = <.<.x, y>., <.y, x>.>.))
20	14, 15, 17, 19	ceqsex2v 2897	. . . . 5 |- (E.zE.w(z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>. /\ A = <.z, w>.) <-> A = <.<.x, y>., <.y, x>.>.)
21	11, 20	bitri 240	. . . 4 |- (E.zE.w(A = <.z, w>. /\ (z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)) <-> A = <.<.x, y>., <.y, x>.>.)
22	21	2exbii 1583	. . 3 |- (E.xE.yE.zE.w(A = <.z, w>. /\ (z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)) <-> E.xE.y A = <.<.x, y>., <.y, x>.>.)
23	5, 7, 22	3bitr3i 266	. 2 |- (E.zE.w(A = <.z, w>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ w = <.y, x>.)) <-> E.xE.y A = <.<.x, y>., <.y, x>.>.)
24	4, 23	bitri 240	1 |- (A e. Swap <-> E.xE.y A = <.<.x, y>., <.y, x>.>.)

Syntax hints:   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  <.cop 4562  {copab 4623   Swap cswap 4719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566  df-op 4567  df-opab 4624  df-swap 4725

This theorem is referenced by:  dfswap2  4742