Theorem fvi 5443

Description: The value of the identity function. (Contributed by set.mm contributors, 1-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fvi	|- (A e. V -> ( _I ` A) = A)

Proof of Theorem fvi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5329	. . 3 |- (x = A -> ( _I ` x) = ( _I ` A))
2		id 19	. . 3 |- (x = A -> x = A)
3	1, 2	eqeq12d 2367	. 2 |- (x = A -> (( _I ` x) = x <-> ( _I ` A) = A))
4		funi 5138	. . . 4 |- Fun _I
5		dmi 4920	. . . 4 |- dom _I = _V
6		df-fn 4791	. . . 4 |- ( _I Fn _V <-> (Fun _I /\ dom _I = _V))
7	4, 5, 6	mpbir2an 886	. . 3 |- _I Fn _V
8		vex 2863	. . 3 |- x e. _V
9		equid 1676	. . . . 5 |- x = x
10	8	ideq 4871	. . . . . 6 |- (x _I x <-> x = x)
11		df-br 4641	. . . . . 6 |- (x _I x <-> <.x, x>. e. _I )
12	10, 11	bitr3i 242	. . . . 5 |- (x = x <-> <.x, x>. e. _I )
13	9, 12	mpbi 199	. . . 4 |- <.x, x>. e. _I
14		fnopfvb 5360	. . . 4 |- (( _I Fn _V /\ x e. _V) -> (( _I ` x) = x <-> <.x, x>. e. _I ))
15	13, 14	mpbiri 224	. . 3 |- (( _I Fn _V /\ x e. _V) -> ( _I ` x) = x)
16	7, 8, 15	mp2an 653	. 2 |- ( _I ` x) = x
17	3, 16	vtoclg 2915	1 |- (A e. V -> ( _I ` A) = A)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860  <.cop 4562   class class class wbr 4640   _I cid 4764  dom cdm 4773  Fun wfun 4776   Fn wfn 4777  ` cfv 4782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-fun 4790  df-fn 4791  df-fv 4796

This theorem is referenced by:  fvresi  5444  fvmpti  5700  fvmpt2  5705