Theorem fvun 5379

Description: Value of the union of two functions when the domains are separate. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fvun	|- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> ((F u. G)` A) = ((F` A) u. (G` A)))

Proof of Theorem fvun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funun 5147	. . 3 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> Fun (F u. G))
2		funfv 5376	. . 3 |- (Fun (F u. G) -> ((F u. G)` A) = U.((F u. G)"{A}))
3	1, 2	syl 15	. 2 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> ((F u. G)` A) = U.((F u. G)"{A}))
4		imaundir 5041	. . . 4 |- ((F u. G)"{A}) = ((F"{A}) u. (G"{A}))
5	4	a1i 10	. . 3 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> ((F u. G)"{A}) = ((F"{A}) u. (G"{A})))
6	5	unieqd 3903	. 2 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> U.((F u. G)"{A}) = U.((F"{A}) u. (G"{A})))
7		uniun 3911	. . 3 |- U.((F"{A}) u. (G"{A})) = (U.(F"{A}) u. U.(G"{A}))
8		funfv 5376	. . . . . . 7 |- (Fun F -> (F` A) = U.(F"{A}))
9	8	eqcomd 2358	. . . . . 6 |- (Fun F -> U.(F"{A}) = (F` A))
10		funfv 5376	. . . . . . 7 |- (Fun G -> (G` A) = U.(G"{A}))
11	10	eqcomd 2358	. . . . . 6 |- (Fun G -> U.(G"{A}) = (G` A))
12	9, 11	anim12i 549	. . . . 5 |- ((Fun F /\ Fun G) -> (U.(F"{A}) = (F` A) /\ U.(G"{A}) = (G` A)))
13	12	adantr 451	. . . 4 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> (U.(F"{A}) = (F` A) /\ U.(G"{A}) = (G` A)))
14		uneq12 3414	. . . 4 |- ((U.(F"{A}) = (F` A) /\ U.(G"{A}) = (G` A)) -> (U.(F"{A}) u. U.(G"{A})) = ((F` A) u. (G` A)))
15	13, 14	syl 15	. . 3 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> (U.(F"{A}) u. U.(G"{A})) = ((F` A) u. (G` A)))
16	7, 15	syl5eq 2397	. 2 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> U.((F"{A}) u. (G"{A})) = ((F` A) u. (G` A)))
17	3, 6, 16	3eqtrd 2389	1 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> ((F u. G)` A) = ((F` A) u. (G` A)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   = wceq 1642   u. cun 3208   i^i cin 3209  (/)c0 3551  {csn 3738  U.cuni 3892  "cima 4723  dom cdm 4773  Fun wfun 4776  ` cfv 4782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-fv 4796

This theorem is referenced by:  fvun1  5380