Theorem funun 5146

Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by set.mm contributors, 12-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funun	|- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> Fun (F u. G))

Proof of Theorem funun

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3220	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. (F u. G) <-> (<.x, y>. e. F \/ <.x, y>. e. G))
2		elun 3220	. . . . . . . 8 |- (<.x, z>. e. (F u. G) <-> (<.x, z>. e. F \/ <.x, z>. e. G))
3	1, 2	anbi12i 678	. . . . . . 7 |- ((<.x, y>. e. (F u. G) /\ <.x, z>. e. (F u. G)) <-> ((<.x, y>. e. F \/ <.x, y>. e. G) /\ (<.x, z>. e. F \/ <.x, z>. e. G)))
4		anddi 840	. . . . . . 7 |- (((<.x, y>. e. F \/ <.x, y>. e. G) /\ (<.x, z>. e. F \/ <.x, z>. e. G)) <-> (((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) \/ ((<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G))))
5	3, 4	bitri 240	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. (F u. G) /\ <.x, z>. e. (F u. G)) <-> (((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) \/ ((<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G))))
6		sp 1747	. . . . . . . . . 10 |- (A.x(x e. dom F -> -. x e. dom G) -> (x e. dom F -> -. x e. dom G))
7		disj1 3593	. . . . . . . . . 10 |- ((dom F i^i dom G) = (/) <-> A.x(x e. dom F -> -. x e. dom G))
8		imnan 411	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. dom F -> -. x e. dom G) <-> -. (x e. dom F /\ x e. dom G))
9	8	bicomi 193	. . . . . . . . . 10 |- (-. (x e. dom F /\ x e. dom G) <-> (x e. dom F -> -. x e. dom G))
10	6, 7, 9	3imtr4i 257	. . . . . . . . 9 |- ((dom F i^i dom G) = (/) -> -. (x e. dom F /\ x e. dom G))
11		opeldm 4910	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. e. F -> x e. dom F)
12		opeldm 4910	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, z>. e. G -> x e. dom G)
13	11, 12	anim12i 549	. . . . . . . . 9 |- ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (x e. dom F /\ x e. dom G))
14	10, 13	nsyl 113	. . . . . . . 8 |- ((dom F i^i dom G) = (/) -> -. (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G))
15		orel2 372	. . . . . . . 8 |- (-. (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F)))
16	14, 15	syl 15	. . . . . . 7 |- ((dom F i^i dom G) = (/) -> (((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F)))
17		sp 1747	. . . . . . . . . 10 |- (A.x(x e. dom G -> -. x e. dom F) -> (x e. dom G -> -. x e. dom F))
18		incom 3448	. . . . . . . . . . . 12 |- (dom F i^i dom G) = (dom G i^i dom F)
19	18	eqeq1i 2360	. . . . . . . . . . 11 |- ((dom F i^i dom G) = (/) <-> (dom G i^i dom F) = (/))
20		disj1 3593	. . . . . . . . . . 11 |- ((dom G i^i dom F) = (/) <-> A.x(x e. dom G -> -. x e. dom F))
21	19, 20	bitri 240	. . . . . . . . . 10 |- ((dom F i^i dom G) = (/) <-> A.x(x e. dom G -> -. x e. dom F))
22		imnan 411	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. dom G -> -. x e. dom F) <-> -. (x e. dom G /\ x e. dom F))
23	22	bicomi 193	. . . . . . . . . 10 |- (-. (x e. dom G /\ x e. dom F) <-> (x e. dom G -> -. x e. dom F))
24	17, 21, 23	3imtr4i 257	. . . . . . . . 9 |- ((dom F i^i dom G) = (/) -> -. (x e. dom G /\ x e. dom F))
25		opeldm 4910	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. e. G -> x e. dom G)
26		opeldm 4910	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, z>. e. F -> x e. dom F)
27	25, 26	anim12i 549	. . . . . . . . 9 |- ((<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. F) -> (x e. dom G /\ x e. dom F))
28	24, 27	nsyl 113	. . . . . . . 8 |- ((dom F i^i dom G) = (/) -> -. (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. F))
29		orel1 371	. . . . . . . 8 |- (-. (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. F) -> (((<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G)) -> (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G)))
30	28, 29	syl 15	. . . . . . 7 |- ((dom F i^i dom G) = (/) -> (((<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G)) -> (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G)))
31	16, 30	orim12d 811	. . . . . 6 |- ((dom F i^i dom G) = (/) -> ((((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) \/ ((<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G))) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G))))
32	5, 31	syl5bi 208	. . . . 5 |- ((dom F i^i dom G) = (/) -> ((<.x, y>. e. (F u. G) /\ <.x, z>. e. (F u. G)) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G))))
33		dffun4 5121	. . . . . . . . 9 |- (Fun F <-> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) -> y = z))
34	33	biimpi 186	. . . . . . . 8 |- (Fun F -> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) -> y = z))
35	34	19.21bi 1758	. . . . . . 7 |- (Fun F -> A.yA.z((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) -> y = z))
36	35	19.21bbi 1865	. . . . . 6 |- (Fun F -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) -> y = z))
37		dffun4 5121	. . . . . . . . 9 |- (Fun G <-> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G) -> y = z))
38	37	biimpi 186	. . . . . . . 8 |- (Fun G -> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G) -> y = z))
39	38	19.21bi 1758	. . . . . . 7 |- (Fun G -> A.yA.z((<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G) -> y = z))
40	39	19.21bbi 1865	. . . . . 6 |- (Fun G -> ((<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G) -> y = z))
41	36, 40	jaao 495	. . . . 5 |- ((Fun F /\ Fun G) -> (((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. F) \/ (<.x, y>. e. G /\ <.x, z>. e. G)) -> y = z))
42	32, 41	sylan9r 639	. . . 4 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> ((<.x, y>. e. (F u. G) /\ <.x, z>. e. (F u. G)) -> y = z))
43	42	alrimiv 1631	. . 3 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> A.z((<.x, y>. e. (F u. G) /\ <.x, z>. e. (F u. G)) -> y = z))
44	43	alrimivv 1632	. 2 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. (F u. G) /\ <.x, z>. e. (F u. G)) -> y = z))
45		dffun4 5121	. 2 |- (Fun (F u. G) <-> A.xA.yA.z((<.x, y>. e. (F u. G) /\ <.x, z>. e. (F u. G)) -> y = z))
46	44, 45	sylibr 203	1 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ (dom F i^i dom G) = (/)) -> Fun (F u. G))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 357   /\ wa 358  A.wal 1540   = wceq 1642   e. wcel 1710   u. cun 3207   i^i cin 3208  (/)c0 3550  <.cop 4561  dom cdm 4772  Fun wfun 4775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789

This theorem is referenced by:  funprg  5149  funprgOLD  5150  fnun  5189  fvun  5378