New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  nnltp1c Unicode version

Theorem nnltp1c 6262
 Description: Any natural is less than one plus itself. (Contributed by SF, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnltp1c Nn c 1c

Proof of Theorem nnltp1c
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnltp1clem1 6261 . 2 c 1c
2 id 19 . . 3 0c 0c
3 addceq1 4383 . . 3 0c 1c 0c 1c
42, 3breq12d 4652 . 2 0c c 1c 0c c 0c 1c
5 id 19 . . 3
6 addceq1 4383 . . 3 1c 1c
75, 6breq12d 4652 . 2 c 1c c 1c
8 id 19 . . 3 1c 1c
9 addceq1 4383 . . 3 1c 1c 1c 1c
108, 9breq12d 4652 . 2 1c c 1c 1c c 1c 1c
11 id 19 . . 3
12 addceq1 4383 . . 3 1c 1c
1311, 12breq12d 4652 . 2 c 1c c 1c
14 0cnc 6138 . . . 4 0c NC
15 1cnc 6139 . . . 4 1c NC
16 addlecncs 6209 . . . 4 0c NC 1c NC 0c c 0c 1c
1714, 15, 16mp2an 653 . . 3 0c c 0c 1c
18 0cnsuc 4401 . . . 4 0c 1c 0c
1918necomi 2598 . . 3 0c 0c 1c
20 brltc 6114 . . 3 0c c 0c 1c 0c c 0c 1c 0c 0c 1c
2117, 19, 20mpbir2an 886 . 2 0c c 0c 1c
22 nnnc 6146 . . . . 5 Nn NC
23 peano2nc 6145 . . . . . 6 NC 1c NC
2422, 23syl 15 . . . . 5 Nn 1c NC
25 leaddc1 6214 . . . . . . 7 NC 1c NC 1c NC c 1c 1c c 1c 1c
2625ex 423 . . . . . 6 NC 1c NC 1c NC c 1c 1c c 1c 1c
2715, 26mp3an3 1266 . . . . 5 NC 1c NC c 1c 1c c 1c 1c
2822, 24, 27syl2anc 642 . . . 4 Nn c 1c 1c c 1c 1c
29 peano2 4403 . . . . . . 7 Nn 1c Nn
30 suc11nnc 4558 . . . . . . 7 Nn 1c Nn 1c 1c 1c 1c
3129, 30mpdan 649 . . . . . 6 Nn 1c 1c 1c 1c
3231biimpd 198 . . . . 5 Nn 1c 1c 1c 1c
3332necon3d 2554 . . . 4 Nn 1c 1c 1c 1c
3428, 33anim12d 546 . . 3 Nn c 1c 1c 1c c 1c 1c 1c 1c 1c
35 brltc 6114 . . 3 c 1c c 1c 1c
36 brltc 6114 . . 3 1c c 1c 1c 1c c 1c 1c 1c 1c 1c
3734, 35, 363imtr4g 261 . 2 Nn c 1c 1c c 1c 1c
381, 4, 7, 10, 13, 21, 37finds 4411 1 Nn c 1c
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375   class class class wbr 4639   NC cncs 6088   c clec 6089   c cltc 6090 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-fix 5740  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-ltc 6100  df-nc 6101 This theorem is referenced by:  nmembers1lem3  6270
 Copyright terms: Public domain W3C validator