Theorem spfinsfincl 4540

Description: If X is in Sp_fin and Z is smaller than X, then Z is also in Sp_fin. Theorem X.1.50 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
spfinsfincl	|- ((X e. Spfin /\ Sfin (Z, X)) -> Z e. Spfin )

Proof of Theorem spfinsfincl

Dummy variables p a q x z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sfin 4447	. . . 4 |- ( Sfin (Z, X) <-> (Z e. Nn /\ X e. Nn /\ E.y(~P1 y e. Z /\ ~Py e. X)))
2		sfineq1 4527	. . . . . . 7 |- (z = Z -> ( Sfin (z, x) <-> Sfin (Z, x)))
3		eleq1 2413	. . . . . . . 8 |- (z = Z -> (z e. Spfin <-> Z e. Spfin ))
4	3	imbi2d 307	. . . . . . 7 |- (z = Z -> ((x e. Spfin -> z e. Spfin ) <-> (x e. Spfin -> Z e. Spfin )))
5	2, 4	imbi12d 311	. . . . . 6 |- (z = Z -> (( Sfin (z, x) -> (x e. Spfin -> z e. Spfin )) <-> ( Sfin (Z, x) -> (x e. Spfin -> Z e. Spfin ))))
6		sfineq2 4528	. . . . . . 7 |- (x = X -> ( Sfin (Z, x) <-> Sfin (Z, X)))
7		eleq1 2413	. . . . . . . 8 |- (x = X -> (x e. Spfin <-> X e. Spfin ))
8	7	imbi1d 308	. . . . . . 7 |- (x = X -> ((x e. Spfin -> Z e. Spfin ) <-> (X e. Spfin -> Z e. Spfin )))
9	6, 8	imbi12d 311	. . . . . 6 |- (x = X -> (( Sfin (Z, x) -> (x e. Spfin -> Z e. Spfin )) <-> ( Sfin (Z, X) -> (X e. Spfin -> Z e. Spfin ))))
10		sfineq2 4528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (p = x -> ( Sfin (q, p) <-> Sfin (q, x)))
11	10	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (p = x -> (( Sfin (q, p) -> q e. a) <-> ( Sfin (q, x) -> q e. a)))
12	11	albidv 1625	. . . . . . . . . . . . 13 |- (p = x -> (A.q( Sfin (q, p) -> q e. a) <-> A.q( Sfin (q, x) -> q e. a)))
13	12	rspcv 2952	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. a -> (A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a) -> A.q( Sfin (q, x) -> q e. a)))
14		sfineq1 4527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (q = z -> ( Sfin (q, x) <-> Sfin (z, x)))
15		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (q = z -> (q e. a <-> z e. a))
16	14, 15	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (q = z -> (( Sfin (q, x) -> q e. a) <-> ( Sfin (z, x) -> z e. a)))
17	16	spv 1998	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.q( Sfin (q, x) -> q e. a) -> ( Sfin (z, x) -> z e. a))
18	17	com12 27	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Sfin (z, x) -> (A.q( Sfin (q, x) -> q e. a) -> z e. a))
19	13, 18	syl9r 67	. . . . . . . . . . 11 |- ( Sfin (z, x) -> (x e. a -> (A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a) -> z e. a)))
20	19	com23 72	. . . . . . . . . 10 |- ( Sfin (z, x) -> (A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a) -> (x e. a -> z e. a)))
21	20	adantld 453	. . . . . . . . 9 |- ( Sfin (z, x) -> (( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a)) -> (x e. a -> z e. a)))
22	21	a2d 23	. . . . . . . 8 |- ( Sfin (z, x) -> ((( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a)) -> x e. a) -> (( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a)) -> z e. a)))
23	22	alimdv 1621	. . . . . . 7 |- ( Sfin (z, x) -> (A.a(( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a)) -> x e. a) -> A.a(( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a)) -> z e. a)))
24		df-spfin 4448	. . . . . . . . 9 |- Spfin = |^|{a | ( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a))}
25	24	eleq2i 2417	. . . . . . . 8 |- (x e. Spfin <-> x e. |^|{a | ( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a))})
26		vex 2863	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
27	26	elintab 3938	. . . . . . . 8 |- (x e. |^|{a | ( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a))} <-> A.a(( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a)) -> x e. a))
28	25, 27	bitri 240	. . . . . . 7 |- (x e. Spfin <-> A.a(( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a)) -> x e. a))
29	24	eleq2i 2417	. . . . . . . 8 |- (z e. Spfin <-> z e. |^|{a | ( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a))})
30		vex 2863	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
31	30	elintab 3938	. . . . . . . 8 |- (z e. |^|{a | ( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a))} <-> A.a(( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a)) -> z e. a))
32	29, 31	bitri 240	. . . . . . 7 |- (z e. Spfin <-> A.a(( Ncfin _V e. a /\ A.p e. a A.q( Sfin (q, p) -> q e. a)) -> z e. a))
33	23, 28, 32	3imtr4g 261	. . . . . 6 |- ( Sfin (z, x) -> (x e. Spfin -> z e. Spfin ))
34	5, 9, 33	vtocl2g 2919	. . . . 5 |- ((Z e. Nn /\ X e. Nn ) -> ( Sfin (Z, X) -> (X e. Spfin -> Z e. Spfin )))
35	34	3adant3 975	. . . 4 |- ((Z e. Nn /\ X e. Nn /\ E.y(~P1 y e. Z /\ ~Py e. X)) -> ( Sfin (Z, X) -> (X e. Spfin -> Z e. Spfin )))
36	1, 35	sylbi 187	. . 3 |- ( Sfin (Z, X) -> ( Sfin (Z, X) -> (X e. Spfin -> Z e. Spfin )))
37	36	pm2.43i 43	. 2 |- ( Sfin (Z, X) -> (X e. Spfin -> Z e. Spfin ))
38	37	impcom 419	1 |- ((X e. Spfin /\ Sfin (Z, X)) -> Z e. Spfin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   /\ w3a 934  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  {cab 2339  A.wral 2615  _Vcvv 2860  ~Pcpw 3723  |^|cint 3927  ~P₁ cpw1 4136   Nn cnnc 4374   Nc_fin cncfin 4435   S_fin wsfin 4439   Sp_fin cspfin 4440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ral 2620  df-v 2862  df-int 3928  df-sfin 4447  df-spfin 4448

This theorem is referenced by:  spfininduct  4541  1cspfin  4544  vfinspsslem1  4551  vfinspclt  4553