Theorem spfininduct 4540

Description: Inductive principle for Sp_fin. Theorem X.1.51 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
spfininduct	|- ((B e. V /\ Ncfin _V e. B /\ A.x e. Spfin A.z((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)) -> Spfin C_ B)

Distinct variable group:   x,B,z

Allowed substitution hints:   V(x,z)

Proof of Theorem spfininduct

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spfinex 4537	. . 3 |- Spfin e. _V
2		inexg 4100	. . 3 |- (( Spfin e. _V /\ B e. V) -> ( Spfin i^i B) e. _V)
3	1, 2	mpan 651	. 2 |- (B e. V -> ( Spfin i^i B) e. _V)
4		ncvspfin 4538	. . 3 |- Ncfin _V e. Spfin
5		elin 3219	. . . 4 |- ( Ncfin _V e. ( Spfin i^i B) <-> ( Ncfin _V e. Spfin /\ Ncfin _V e. B))
6	5	biimpri 197	. . 3 |- (( Ncfin _V e. Spfin /\ Ncfin _V e. B) -> Ncfin _V e. ( Spfin i^i B))
7	4, 6	mpan 651	. 2 |- ( Ncfin _V e. B -> Ncfin _V e. ( Spfin i^i B))
8		elin 3219	. . . . 5 |- (x e. ( Spfin i^i B) <-> (x e. Spfin /\ x e. B))
9		spfinsfincl 4539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. Spfin /\ Sfin (z, x)) -> z e. Spfin )
10	9	adantrl 696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. Spfin /\ (x e. B /\ Sfin (z, x))) -> z e. Spfin )
11	10	a1d 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. Spfin /\ (x e. B /\ Sfin (z, x))) -> (z e. B -> z e. Spfin ))
12	11	ancrd 537	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. Spfin /\ (x e. B /\ Sfin (z, x))) -> (z e. B -> (z e. Spfin /\ z e. B)))
13		elin 3219	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. ( Spfin i^i B) <-> (z e. Spfin /\ z e. B))
14	12, 13	syl6ibr 218	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. Spfin /\ (x e. B /\ Sfin (z, x))) -> (z e. B -> z e. ( Spfin i^i B)))
15	14	ex 423	. . . . . . . . 9 |- (x e. Spfin -> ((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> (z e. B -> z e. ( Spfin i^i B))))
16	15	a2d 23	. . . . . . . 8 |- (x e. Spfin -> (((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B) -> ((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. ( Spfin i^i B))))
17	16	exp4a 589	. . . . . . 7 |- (x e. Spfin -> (((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B) -> (x e. B -> ( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B)))))
18	17	a2i 12	. . . . . 6 |- ((x e. Spfin -> ((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)) -> (x e. Spfin -> (x e. B -> ( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B)))))
19	18	imp3a 420	. . . . 5 |- ((x e. Spfin -> ((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)) -> ((x e. Spfin /\ x e. B) -> ( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))))
20	8, 19	syl5bi 208	. . . 4 |- ((x e. Spfin -> ((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)) -> (x e. ( Spfin i^i B) -> ( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))))
21	20	2alimi 1560	. . 3 |- (A.xA.z(x e. Spfin -> ((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)) -> A.xA.z(x e. ( Spfin i^i B) -> ( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))))
22		df-ral 2619	. . . 4 |- (A.x e. Spfin A.z((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B) <-> A.x(x e. Spfin -> A.z((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)))
23		19.21v 1890	. . . . 5 |- (A.z(x e. Spfin -> ((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)) <-> (x e. Spfin -> A.z((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)))
24	23	albii 1566	. . . 4 |- (A.xA.z(x e. Spfin -> ((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)) <-> A.x(x e. Spfin -> A.z((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)))
25	22, 24	bitr4i 243	. . 3 |- (A.x e. Spfin A.z((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B) <-> A.xA.z(x e. Spfin -> ((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)))
26		df-ral 2619	. . . 4 |- (A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B)) <-> A.x(x e. ( Spfin i^i B) -> A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))))
27		19.21v 1890	. . . . 5 |- (A.z(x e. ( Spfin i^i B) -> ( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))) <-> (x e. ( Spfin i^i B) -> A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))))
28	27	albii 1566	. . . 4 |- (A.xA.z(x e. ( Spfin i^i B) -> ( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))) <-> A.x(x e. ( Spfin i^i B) -> A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))))
29	26, 28	bitr4i 243	. . 3 |- (A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B)) <-> A.xA.z(x e. ( Spfin i^i B) -> ( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))))
30	21, 25, 29	3imtr4i 257	. 2 |- (A.x e. Spfin A.z((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B) -> A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B)))
31		df-spfin 4447	. . . 4 |- Spfin = |^|{a | ( Ncfin _V e. a /\ A.x e. a A.z( Sfin (z, x) -> z e. a))}
32		eleq2 2414	. . . . . . . . 9 |- (a = ( Spfin i^i B) -> ( Ncfin _V e. a <-> Ncfin _V e. ( Spfin i^i B)))
33		eleq2 2414	. . . . . . . . . . . 12 |- (a = ( Spfin i^i B) -> (z e. a <-> z e. ( Spfin i^i B)))
34	33	imbi2d 307	. . . . . . . . . . 11 |- (a = ( Spfin i^i B) -> (( Sfin (z, x) -> z e. a) <-> ( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))))
35	34	albidv 1625	. . . . . . . . . 10 |- (a = ( Spfin i^i B) -> (A.z( Sfin (z, x) -> z e. a) <-> A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))))
36	35	raleqbi1dv 2815	. . . . . . . . 9 |- (a = ( Spfin i^i B) -> (A.x e. a A.z( Sfin (z, x) -> z e. a) <-> A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))))
37	32, 36	anbi12d 691	. . . . . . . 8 |- (a = ( Spfin i^i B) -> (( Ncfin _V e. a /\ A.x e. a A.z( Sfin (z, x) -> z e. a)) <-> ( Ncfin _V e. ( Spfin i^i B) /\ A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B)))))
38	37	elabg 2986	. . . . . . 7 |- (( Spfin i^i B) e. _V -> (( Spfin i^i B) e. {a | ( Ncfin _V e. a /\ A.x e. a A.z( Sfin (z, x) -> z e. a))} <-> ( Ncfin _V e. ( Spfin i^i B) /\ A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B)))))
39	38	biimprd 214	. . . . . 6 |- (( Spfin i^i B) e. _V -> (( Ncfin _V e. ( Spfin i^i B) /\ A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))) -> ( Spfin i^i B) e. {a | ( Ncfin _V e. a /\ A.x e. a A.z( Sfin (z, x) -> z e. a))}))
40	39	3impib 1149	. . . . 5 |- ((( Spfin i^i B) e. _V /\ Ncfin _V e. ( Spfin i^i B) /\ A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))) -> ( Spfin i^i B) e. {a | ( Ncfin _V e. a /\ A.x e. a A.z( Sfin (z, x) -> z e. a))})
41		intss1 3941	. . . . 5 |- (( Spfin i^i B) e. {a | ( Ncfin _V e. a /\ A.x e. a A.z( Sfin (z, x) -> z e. a))} -> |^|{a | ( Ncfin _V e. a /\ A.x e. a A.z( Sfin (z, x) -> z e. a))} C_ ( Spfin i^i B))
42	40, 41	syl 15	. . . 4 |- ((( Spfin i^i B) e. _V /\ Ncfin _V e. ( Spfin i^i B) /\ A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))) -> |^|{a | ( Ncfin _V e. a /\ A.x e. a A.z( Sfin (z, x) -> z e. a))} C_ ( Spfin i^i B))
43	31, 42	syl5eqss 3315	. . 3 |- ((( Spfin i^i B) e. _V /\ Ncfin _V e. ( Spfin i^i B) /\ A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))) -> Spfin C_ ( Spfin i^i B))
44		inss2 3476	. . 3 |- ( Spfin i^i B) C_ B
45	43, 44	syl6ss 3284	. 2 |- ((( Spfin i^i B) e. _V /\ Ncfin _V e. ( Spfin i^i B) /\ A.x e. ( Spfin i^i B)A.z( Sfin (z, x) -> z e. ( Spfin i^i B))) -> Spfin C_ B)
46	3, 7, 30, 45	syl3an 1224	1 |- ((B e. V /\ Ncfin _V e. B /\ A.x e. Spfin A.z((x e. B /\ Sfin (z, x)) -> z e. B)) -> Spfin C_ B)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   /\ w3a 934  A.wal 1540   = wceq 1642   e. wcel 1710  {cab 2339  A.wral 2614  _Vcvv 2859   i^i cin 3208   C_ wss 3257  |^|cint 3926   Nc_fin cncfin 4434   S_fin wsfin 4438   Sp_fin cspfin 4439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-iota 4339  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-ncfin 4442  df-sfin 4446  df-spfin 4447

This theorem is referenced by:  vfinspnn  4541  vfinspss  4551  vfinspclt  4552