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Theorem vfinspclt 4552
Description: If the universe is finite, then Spfin is closed under T-raising. Theorem X.1.60 of [Rosser] p. 536. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfinspclt Fin Spfin Tfin Spfin

Proof of Theorem vfinspclt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tncveqnc1fin 4544 . . . . . 6 Fin Tfin Ncfin Ncfin 1c
2 1cspfin 4543 . . . . . 6 Fin Ncfin 1c Spfin
31, 2eqeltrd 2427 . . . . 5 Fin Tfin Ncfin Spfin
4 ncfinex 4472 . . . . . 6 Ncfin
5 tfineq 4488 . . . . . . 7 Ncfin Tfin Tfin Ncfin
65eleq1d 2419 . . . . . 6 Ncfin Tfin Spfin Tfin Ncfin Spfin
74, 6elab 2985 . . . . 5 Ncfin Tfin Spfin Tfin Ncfin Spfin
83, 7sylibr 203 . . . 4 Fin Ncfin Tfin Spfin
9 simprl 732 . . . . . . . . 9 Fin Spfin Tfin Spfin Sfin Tfin Spfin
10 sfintfin 4532 . . . . . . . . . 10 Sfin Sfin Tfin Tfin
1110ad2antll 709 . . . . . . . . 9 Fin Spfin Tfin Spfin Sfin Sfin Tfin Tfin
12 spfinsfincl 4539 . . . . . . . . 9 Tfin Spfin Sfin Tfin Tfin Tfin Spfin
139, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . 8 Fin Spfin Tfin Spfin Sfin Tfin Spfin
1413ex 423 . . . . . . 7 Fin Spfin Tfin Spfin Sfin Tfin Spfin
15 vex 2862 . . . . . . . . 9
16 tfineq 4488 . . . . . . . . . 10 Tfin Tfin
1716eleq1d 2419 . . . . . . . . 9 Tfin Spfin Tfin Spfin
1815, 17elab 2985 . . . . . . . 8 Tfin Spfin Tfin Spfin
1918anbi1i 676 . . . . . . 7 Tfin Spfin Sfin Tfin Spfin Sfin
20 vex 2862 . . . . . . . 8
21 tfineq 4488 . . . . . . . . 9 Tfin Tfin
2221eleq1d 2419 . . . . . . . 8 Tfin Spfin Tfin Spfin
2320, 22elab 2985 . . . . . . 7 Tfin Spfin Tfin Spfin
2414, 19, 233imtr4g 261 . . . . . 6 Fin Spfin Tfin Spfin Sfin Tfin Spfin
2524alrimiv 1631 . . . . 5 Fin Spfin Tfin Spfin Sfin Tfin Spfin
2625ralrimiva 2697 . . . 4 Fin Spfin Tfin Spfin Sfin Tfin Spfin
27 snex 4111 . . . . . . . . . 10
2827elimak 4259 . . . . . . . . 9 k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Spfin Spfin k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
2915, 27opkelcnvk 4250 . . . . . . . . . . 11 k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
30 vex 2862 . . . . . . . . . . . 12
3130, 15eqtfinrelk 4486 . . . . . . . . . . 11 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Tfin
3229, 31bitri 240 . . . . . . . . . 10 k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Tfin
3332rexbii 2639 . . . . . . . . 9 Spfin k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Spfin Tfin
3428, 33bitri 240 . . . . . . . 8 k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Spfin Spfin Tfin
3530eluni1 4173 . . . . . . . 8 1k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Spfin k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Spfin
36 risset 2661 . . . . . . . 8 Tfin Spfin Spfin Tfin
3734, 35, 363bitr4i 268 . . . . . . 7 1k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Spfin Tfin Spfin
3837abbi2i 2464 . . . . . 6 1k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Spfin Tfin Spfin
39 tfinrelkex 4487 . . . . . . . . 9 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
4039cnvkex 4287 . . . . . . . 8 k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
41 spfinex 4537 . . . . . . . 8 Spfin
4240, 41imakex 4300 . . . . . . 7 k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Spfin
4342uni1ex 4293 . . . . . 6 1k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Spfin
4438, 43eqeltrri 2424 . . . . 5 Tfin Spfin
45 spfininduct 4540 . . . . 5 Tfin Spfin Ncfin Tfin Spfin Spfin Tfin Spfin Sfin Tfin Spfin Spfin Tfin Spfin
4644, 45mp3an1 1264 . . . 4 Ncfin Tfin Spfin Spfin Tfin Spfin Sfin Tfin Spfin Spfin Tfin Spfin
478, 26, 46syl2anc 642 . . 3 Fin Spfin Tfin Spfin
4847sselda 3273 . 2 Fin Spfin Tfin Spfin
49 tfineq 4488 . . . . 5 Tfin Tfin
5049eleq1d 2419 . . . 4 Tfin Spfin Tfin Spfin
5150elabg 2986 . . 3 Spfin Tfin Spfin Tfin Spfin
5251adantl 452 . 2 Fin Spfin Tfin Spfin Tfin Spfin
5348, 52mpbid 201 1 Fin Spfin Tfin Spfin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wal 1540   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  wral 2614  wrex 2615  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cdif 3206   cun 3207   cin 3208   csymdif 3209   wss 3257  c0 3550  cpw 3722  csn 3737  copk 4057  ⋃1cuni1 4133  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   k cxpk 4174  kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  kcimak 4179   SIk csik 4181   Sk cssetk 4183   k cidk 4184   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376   Ncfin cncfin 4434   Tfin ctfin 4435   Sfin wsfin 4438   Spfin cspfin 4439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-sfin 4446  df-spfin 4447
This theorem is referenced by:  vfinspeqtncv  4553
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