Theorem xpkvexg 4286

Description: The Kuratowski cross product of _V with a set is a set. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpkvexg	|- (A e. V -> (_V X.k A) e. _V)

Proof of Theorem xpkvexg

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpkeq2 4200	. . 3 |- (x = A -> (_V X.k x) = (_V X.k A))
2	1	eleq1d 2419	. 2 |- (x = A -> ((_V X.k x) e. _V <-> (_V X.k A) e. _V))
3		ax-xp 4080	. . 3 |- E.yA.z(z e. y <-> E.aE.b(z = <<a, b>> /\ b e. x))
4		isset 2864	. . . 4 |- ((_V X.k x) e. _V <-> E.y y = (_V X.k x))
5		dfcleq 2347	. . . . . 6 |- (y = (_V X.k x) <-> A.z(z e. y <-> z e. (_V X.k x)))
6		elxpk 4197	. . . . . . . . 9 |- (z e. (_V X.k x) <-> E.aE.b(z = <<a, b>> /\ (a e. _V /\ b e. x)))
7		vex 2863	. . . . . . . . . . . 12 |- a e. _V
8	7	biantrur 492	. . . . . . . . . . 11 |- (b e. x <-> (a e. _V /\ b e. x))
9	8	anbi2i 675	. . . . . . . . . 10 |- ((z = <<a, b>> /\ b e. x) <-> (z = <<a, b>> /\ (a e. _V /\ b e. x)))
10	9	2exbii 1583	. . . . . . . . 9 |- (E.aE.b(z = <<a, b>> /\ b e. x) <-> E.aE.b(z = <<a, b>> /\ (a e. _V /\ b e. x)))
11	6, 10	bitr4i 243	. . . . . . . 8 |- (z e. (_V X.k x) <-> E.aE.b(z = <<a, b>> /\ b e. x))
12	11	bibi2i 304	. . . . . . 7 |- ((z e. y <-> z e. (_V X.k x)) <-> (z e. y <-> E.aE.b(z = <<a, b>> /\ b e. x)))
13	12	albii 1566	. . . . . 6 |- (A.z(z e. y <-> z e. (_V X.k x)) <-> A.z(z e. y <-> E.aE.b(z = <<a, b>> /\ b e. x)))
14	5, 13	bitri 240	. . . . 5 |- (y = (_V X.k x) <-> A.z(z e. y <-> E.aE.b(z = <<a, b>> /\ b e. x)))
15	14	exbii 1582	. . . 4 |- (E.y y = (_V X.k x) <-> E.yA.z(z e. y <-> E.aE.b(z = <<a, b>> /\ b e. x)))
16	4, 15	bitri 240	. . 3 |- ((_V X.k x) e. _V <-> E.yA.z(z e. y <-> E.aE.b(z = <<a, b>> /\ b e. x)))
17	3, 16	mpbir 200	. 2 |- (_V X.k x) e. _V
18	2, 17	vtoclg 2915	1 |- (A e. V -> (_V X.k A) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358  A.wal 1540  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  _Vcvv 2860  <<copk 4058   X._k cxpk 4175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-xpk 4186

This theorem is referenced by:  cnvkexg  4287  xpkexg  4289  ssetkex  4295