Theorem nanbi 1294

Description: Show equivalence between the bidirectional and the Nicod version. (Contributed by Jeff Hoffman, 19-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
nanbi	⊢ ((φ ↔ ψ) ↔ ((φ ⊼ ψ) ⊼ ((φ ⊼ φ) ⊼ (ψ ⊼ ψ))))

Proof of Theorem nanbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.57 483	. 2 ⊢ (¬ (¬ (φ ∧ ψ) ∧ ¬ (¬ φ ∧ ¬ ψ)) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ (¬ φ ∧ ¬ ψ)))
2		df-nan 1288	. . 3 ⊢ (((φ ⊼ ψ) ⊼ ((φ ⊼ φ) ⊼ (ψ ⊼ ψ))) ↔ ¬ ((φ ⊼ ψ) ∧ ((φ ⊼ φ) ⊼ (ψ ⊼ ψ))))
3		df-nan 1288	. . . 4 ⊢ ((φ ⊼ ψ) ↔ ¬ (φ ∧ ψ))
4		df-nan 1288	. . . . 5 ⊢ (((φ ⊼ φ) ⊼ (ψ ⊼ ψ)) ↔ ¬ ((φ ⊼ φ) ∧ (ψ ⊼ ψ)))
5		nannot 1293	. . . . . 6 ⊢ (¬ φ ↔ (φ ⊼ φ))
6		nannot 1293	. . . . . 6 ⊢ (¬ ψ ↔ (ψ ⊼ ψ))
7	5, 6	anbi12i 678	. . . . 5 ⊢ ((¬ φ ∧ ¬ ψ) ↔ ((φ ⊼ φ) ∧ (ψ ⊼ ψ)))
8	4, 7	xchbinxr 302	. . . 4 ⊢ (((φ ⊼ φ) ⊼ (ψ ⊼ ψ)) ↔ ¬ (¬ φ ∧ ¬ ψ))
9	3, 8	anbi12i 678	. . 3 ⊢ (((φ ⊼ ψ) ∧ ((φ ⊼ φ) ⊼ (ψ ⊼ ψ))) ↔ (¬ (φ ∧ ψ) ∧ ¬ (¬ φ ∧ ¬ ψ)))
10	2, 9	xchbinx 301	. 2 ⊢ (((φ ⊼ ψ) ⊼ ((φ ⊼ φ) ⊼ (ψ ⊼ ψ))) ↔ ¬ (¬ (φ ∧ ψ) ∧ ¬ (¬ φ ∧ ¬ ψ)))
11		dfbi3 863	. 2 ⊢ ((φ ↔ ψ) ↔ ((φ ∧ ψ) ∨ (¬ φ ∧ ¬ ψ)))
12	1, 10, 11	3bitr4ri 269	1 ⊢ ((φ ↔ ψ) ↔ ((φ ⊼ ψ) ⊼ ((φ ⊼ φ) ⊼ (ψ ⊼ ψ))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358   ⊼ wnan 1287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288

This theorem is referenced by:  nic-dfim  1434  nic-dfneg  1435