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Theorem testmod2 1215
Description: A modular law experiment. (Contributed by NM, 21-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
testmod2 ((ab) ∩ (a ∪ (cd))) = (a ∪ (b ∩ (((ac) ∩ (bd)) ∪ (d ∩ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da)))))))

Proof of Theorem testmod2
StepHypRef Expression
1 orass 75 . . . . 5 ((ac) ∪ d) = (a ∪ (cd))
21lan 77 . . . 4 ((ab) ∩ ((ac) ∪ d)) = ((ab) ∩ (a ∪ (cd)))
32cm 61 . . 3 ((ab) ∩ (a ∪ (cd))) = ((ab) ∩ ((ac) ∪ d))
4 leo 158 . . . . 5 a ≤ (ac)
54ler 149 . . . 4 a ≤ ((ac) ∪ d)
65mlduali 1128 . . 3 ((ab) ∩ ((ac) ∪ d)) = (a ∪ (b ∩ ((ac) ∪ d)))
73, 6tr 62 . 2 ((ab) ∩ (a ∪ (cd))) = (a ∪ (b ∩ ((ac) ∪ d)))
8 leo 158 . . . . . . . . 9 b ≤ (bd)
9 leor 159 . . . . . . . . 9 b ≤ ((ac) ∪ b)
108, 9ler2an 173 . . . . . . . 8 b ≤ ((bd) ∩ ((ac) ∪ b))
1110df2le2 136 . . . . . . 7 (b ∩ ((bd) ∩ ((ac) ∪ b))) = b
1211ran 78 . . . . . 6 ((b ∩ ((bd) ∩ ((ac) ∪ b))) ∩ ((ac) ∪ d)) = (b ∩ ((ac) ∪ d))
1312cm 61 . . . . 5 (b ∩ ((ac) ∪ d)) = ((b ∩ ((bd) ∩ ((ac) ∪ b))) ∩ ((ac) ∪ d))
14 anass 76 . . . . 5 ((b ∩ ((bd) ∩ ((ac) ∪ b))) ∩ ((ac) ∪ d)) = (b ∩ (((bd) ∩ ((ac) ∪ b)) ∩ ((ac) ∪ d)))
1513, 14tr 62 . . . 4 (b ∩ ((ac) ∪ d)) = (b ∩ (((bd) ∩ ((ac) ∪ b)) ∩ ((ac) ∪ d)))
16 an32 83 . . . . . . . . . 10 (((bd) ∩ ((ac) ∪ b)) ∩ ((ac) ∪ d)) = (((bd) ∩ ((ac) ∪ d)) ∩ ((ac) ∪ b))
17 leor 159 . . . . . . . . . . . . 13 d ≤ (bd)
1817mldual2i 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((bd) ∩ ((ac) ∪ d)) = (((bd) ∩ (ac)) ∪ d)
19 ancom 74 . . . . . . . . . . . . 13 ((bd) ∩ (ac)) = ((ac) ∩ (bd))
2019ror 71 . . . . . . . . . . . 12 (((bd) ∩ (ac)) ∪ d) = (((ac) ∩ (bd)) ∪ d)
2118, 20tr 62 . . . . . . . . . . 11 ((bd) ∩ ((ac) ∪ d)) = (((ac) ∩ (bd)) ∪ d)
2221ran 78 . . . . . . . . . 10 (((bd) ∩ ((ac) ∪ d)) ∩ ((ac) ∪ b)) = ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ b))
2316, 22tr 62 . . . . . . . . 9 (((bd) ∩ ((ac) ∪ b)) ∩ ((ac) ∪ d)) = ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ b))
24 lea 160 . . . . . . . . . . . . 13 ((ac) ∩ (bd)) ≤ (ac)
2524leror 152 . . . . . . . . . . . 12 (((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ≤ ((ac) ∪ d)
2625df2le2 136 . . . . . . . . . . 11 ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ d)) = (((ac) ∩ (bd)) ∪ d)
2726ran 78 . . . . . . . . . 10 (((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ d)) ∩ ((ac) ∪ b)) = ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ b))
2827cm 61 . . . . . . . . 9 ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ b)) = (((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ d)) ∩ ((ac) ∪ b))
2923, 28tr 62 . . . . . . . 8 (((bd) ∩ ((ac) ∪ b)) ∩ ((ac) ∪ d)) = (((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ d)) ∩ ((ac) ∪ b))
30 anass 76 . . . . . . . 8 (((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ d)) ∩ ((ac) ∪ b)) = ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ (((ac) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ b)))
3129, 30tr 62 . . . . . . 7 (((bd) ∩ ((ac) ∪ b)) ∩ ((ac) ∪ d)) = ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ (((ac) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ b)))
32 l42modlem1 1149 . . . . . . . . 9 (((ac) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ b)) = ((ac) ∪ ((ad) ∩ (cb)))
33 orcom 73 . . . . . . . . . . . 12 (ad) = (da)
34 orcom 73 . . . . . . . . . . . 12 (cb) = (bc)
3533, 342an 79 . . . . . . . . . . 11 ((ad) ∩ (cb)) = ((da) ∩ (bc))
36 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 ((da) ∩ (bc)) = ((bc) ∩ (da))
3735, 36tr 62 . . . . . . . . . 10 ((ad) ∩ (cb)) = ((bc) ∩ (da))
3837lor 70 . . . . . . . . 9 ((ac) ∪ ((ad) ∩ (cb))) = ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da)))
3932, 38tr 62 . . . . . . . 8 (((ac) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ b)) = ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da)))
4039lan 77 . . . . . . 7 ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ (((ac) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ b))) = ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da))))
4131, 40tr 62 . . . . . 6 (((bd) ∩ ((ac) ∪ b)) ∩ ((ac) ∪ d)) = ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da))))
42 leao1 162 . . . . . . 7 ((ac) ∩ (bd)) ≤ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da)))
4342mlduali 1128 . . . . . 6 ((((ac) ∩ (bd)) ∪ d) ∩ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da)))) = (((ac) ∩ (bd)) ∪ (d ∩ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da)))))
4441, 43tr 62 . . . . 5 (((bd) ∩ ((ac) ∪ b)) ∩ ((ac) ∪ d)) = (((ac) ∩ (bd)) ∪ (d ∩ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da)))))
4544lan 77 . . . 4 (b ∩ (((bd) ∩ ((ac) ∪ b)) ∩ ((ac) ∪ d))) = (b ∩ (((ac) ∩ (bd)) ∪ (d ∩ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da))))))
4615, 45tr 62 . . 3 (b ∩ ((ac) ∪ d)) = (b ∩ (((ac) ∩ (bd)) ∪ (d ∩ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da))))))
4746lor 70 . 2 (a ∪ (b ∩ ((ac) ∪ d))) = (a ∪ (b ∩ (((ac) ∩ (bd)) ∪ (d ∩ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da)))))))
487, 47tr 62 1 ((ab) ∩ (a ∪ (cd))) = (a ∪ (b ∩ (((ac) ∩ (bd)) ∪ (d ∩ ((ac) ∪ ((bc) ∩ (da)))))))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  wo 6  wa 7
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-ml 1122
This theorem depends on definitions:  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-le1 130  df-le2 131
This theorem is referenced by: (None)
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