Theorem u3lemax5 797

Description: Possible axiom for Kalmbach implication system. (Contributed by NM, 23-Jan-1998.)

Assertion

Ref	Expression
u3lemax5	((a →3 b) →3 ((a →3 b) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))))))))) = 1

Proof of Theorem u3lemax5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lem4 511	. 2 ((a →3 b) →3 ((a →3 b) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))))))))) = ((a →3 b)⊥ ∪ ((b →3 a) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))))))))
2		lem4 511	. . . . 5 ((b →3 a) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))))))) = ((b →3 a)⊥ ∪ ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))))))
3		lem4 511	. . . . . . 7 ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))))) = ((b →3 c)⊥ ∪ ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))))
4		lem4 511	. . . . . . . . 9 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))) = ((c →3 b)⊥ ∪ (a →3 c))
5	4	lor 70	. . . . . . . 8 ((b →3 c)⊥ ∪ ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c)))) = ((b →3 c)⊥ ∪ ((c →3 b)⊥ ∪ (a →3 c)))
6		ax-a3 32	. . . . . . . . . 10 (((b →3 c)⊥ ∪ (c →3 b)⊥ ) ∪ (a →3 c)) = ((b →3 c)⊥ ∪ ((c →3 b)⊥ ∪ (a →3 c)))
7	6	ax-r1 35	. . . . . . . . 9 ((b →3 c)⊥ ∪ ((c →3 b)⊥ ∪ (a →3 c))) = (((b →3 c)⊥ ∪ (c →3 b)⊥ ) ∪ (a →3 c))
8		oran3 93	. . . . . . . . . . 11 ((b →3 c)⊥ ∪ (c →3 b)⊥ ) = ((b →3 c) ∩ (c →3 b))⊥
9		u3lembi 723	. . . . . . . . . . . 12 ((b →3 c) ∩ (c →3 b)) = (b ≡ c)
10	9	ax-r4 37	. . . . . . . . . . 11 ((b →3 c) ∩ (c →3 b))⊥ = (b ≡ c)⊥
11	8, 10	ax-r2 36	. . . . . . . . . 10 ((b →3 c)⊥ ∪ (c →3 b)⊥ ) = (b ≡ c)⊥
12	11	ax-r5 38	. . . . . . . . 9 (((b →3 c)⊥ ∪ (c →3 b)⊥ ) ∪ (a →3 c)) = ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))
13	7, 12	ax-r2 36	. . . . . . . 8 ((b →3 c)⊥ ∪ ((c →3 b)⊥ ∪ (a →3 c))) = ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))
14	5, 13	ax-r2 36	. . . . . . 7 ((b →3 c)⊥ ∪ ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c)))) = ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))
15	3, 14	ax-r2 36	. . . . . 6 ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))))) = ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))
16	15	lor 70	. . . . 5 ((b →3 a)⊥ ∪ ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c)))))) = ((b →3 a)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c)))
17	2, 16	ax-r2 36	. . . 4 ((b →3 a) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))))))) = ((b →3 a)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c)))
18	17	lor 70	. . 3 ((a →3 b)⊥ ∪ ((b →3 a) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c)))))))) = ((a →3 b)⊥ ∪ ((b →3 a)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))))
19		ax-a3 32	. . . . 5 (((a →3 b)⊥ ∪ (b →3 a)⊥ ) ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))) = ((a →3 b)⊥ ∪ ((b →3 a)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))))
20	19	ax-r1 35	. . . 4 ((a →3 b)⊥ ∪ ((b →3 a)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c)))) = (((a →3 b)⊥ ∪ (b →3 a)⊥ ) ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c)))
21		oran3 93	. . . . . . 7 ((a →3 b)⊥ ∪ (b →3 a)⊥ ) = ((a →3 b) ∩ (b →3 a))⊥
22		u3lembi 723	. . . . . . . 8 ((a →3 b) ∩ (b →3 a)) = (a ≡ b)
23	22	ax-r4 37	. . . . . . 7 ((a →3 b) ∩ (b →3 a))⊥ = (a ≡ b)⊥
24	21, 23	ax-r2 36	. . . . . 6 ((a →3 b)⊥ ∪ (b →3 a)⊥ ) = (a ≡ b)⊥
25	24	ax-r5 38	. . . . 5 (((a →3 b)⊥ ∪ (b →3 a)⊥ ) ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))) = ((a ≡ b)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c)))
26		le1 146	. . . . . 6 ((a ≡ b)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))) ≤ 1
27		ska2 432	. . . . . . . 8 ((a ≡ b)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a ≡ c))) = 1
28	27	ax-r1 35	. . . . . . 7 1 = ((a ≡ b)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a ≡ c)))
29		u3lembi 723	. . . . . . . . . . 11 ((a →3 c) ∩ (c →3 a)) = (a ≡ c)
30	29	ax-r1 35	. . . . . . . . . 10 (a ≡ c) = ((a →3 c) ∩ (c →3 a))
31		lea 160	. . . . . . . . . 10 ((a →3 c) ∩ (c →3 a)) ≤ (a →3 c)
32	30, 31	bltr 138	. . . . . . . . 9 (a ≡ c) ≤ (a →3 c)
33	32	lelor 166	. . . . . . . 8 ((b ≡ c)⊥ ∪ (a ≡ c)) ≤ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))
34	33	lelor 166	. . . . . . 7 ((a ≡ b)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a ≡ c))) ≤ ((a ≡ b)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c)))
35	28, 34	bltr 138	. . . . . 6 1 ≤ ((a ≡ b)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c)))
36	26, 35	lebi 145	. . . . 5 ((a ≡ b)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))) = 1
37	25, 36	ax-r2 36	. . . 4 (((a →3 b)⊥ ∪ (b →3 a)⊥ ) ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c))) = 1
38	20, 37	ax-r2 36	. . 3 ((a →3 b)⊥ ∪ ((b →3 a)⊥ ∪ ((b ≡ c)⊥ ∪ (a →3 c)))) = 1
39	18, 38	ax-r2 36	. 2 ((a →3 b)⊥ ∪ ((b →3 a) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c)))))))) = 1
40	1, 39	ax-r2 36	1 ((a →3 b) →3 ((a →3 b) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 a) →3 ((b →3 c) →3 ((b →3 c) →3 ((c →3 b) →3 ((c →3 b) →3 (a →3 c))))))))) = 1

Syntax hints:   = wb 1  ^⊥ wn 4   ≡ tb 5   ∪ wo 6   ∩ wa 7  1wt 8   →₃ wi3 14

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-wom 361  ax-r3 439

This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-i2 45  df-i3 46  df-le 129  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133  df-cmtr 134

This theorem is referenced by: (None)