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Theorem vneulem6 1136
Description: Part of von Neumann's lemma. Lemma 9, Kalmbach p. 96 (Contributed by NM, 15-Mar-2010.) (Revised by NM, 31-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
vneulem6.1 ((ab) ∩ (cd)) = 0
Assertion
Ref Expression
vneulem6 (((ab) ∪ d) ∩ ((bc) ∪ d)) = ((ca) ∪ (bd))

Proof of Theorem vneulem6
StepHypRef Expression
1 orcom 73 . . . . . . 7 (ab) = (ba)
21ror 71 . . . . . 6 ((ab) ∪ d) = ((ba) ∪ d)
3 or32 82 . . . . . 6 ((ba) ∪ d) = ((bd) ∪ a)
42, 3tr 62 . . . . 5 ((ab) ∪ d) = ((bd) ∪ a)
5 or32 82 . . . . 5 ((bc) ∪ d) = ((bd) ∪ c)
64, 52an 79 . . . 4 (((ab) ∪ d) ∩ ((bc) ∪ d)) = (((bd) ∪ a) ∩ ((bd) ∪ c))
7 vneulem5 1135 . . . 4 (((bd) ∪ a) ∩ ((bd) ∪ c)) = ((bd) ∪ (((bd) ∪ a) ∩ c))
86, 7ax-r2 36 . . 3 (((ab) ∪ d) ∩ ((bc) ∪ d)) = ((bd) ∪ (((bd) ∪ a) ∩ c))
9 leor 159 . . . 4 (bd) ≤ ((ca) ∪ (bd))
10 or32 82 . . . . . . 7 ((bd) ∪ a) = ((ba) ∪ d)
1110ran 78 . . . . . 6 (((bd) ∪ a) ∩ c) = (((ba) ∪ d) ∩ c)
12 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 (ba) = (ab)
13 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 (dc) = (cd)
1412, 132an 79 . . . . . . . 8 ((ba) ∩ (dc)) = ((ab) ∩ (cd))
15 vneulem6.1 . . . . . . . 8 ((ab) ∩ (cd)) = 0
1614, 15tr 62 . . . . . . 7 ((ba) ∩ (dc)) = 0
1716vneulem4 1134 . . . . . 6 (((ba) ∪ d) ∩ c) = (dc)
1811, 17tr 62 . . . . 5 (((bd) ∪ a) ∩ c) = (dc)
19 leao3 164 . . . . . 6 (dc) ≤ (bd)
2019lerr 150 . . . . 5 (dc) ≤ ((ca) ∪ (bd))
2118, 20bltr 138 . . . 4 (((bd) ∪ a) ∩ c) ≤ ((ca) ∪ (bd))
229, 21lel2or 170 . . 3 ((bd) ∪ (((bd) ∪ a) ∩ c)) ≤ ((ca) ∪ (bd))
238, 22bltr 138 . 2 (((ab) ∪ d) ∩ ((bc) ∪ d)) ≤ ((ca) ∪ (bd))
24 leao2 163 . . . . 5 (ca) ≤ (ab)
2524ler 149 . . . 4 (ca) ≤ ((ab) ∪ d)
26 leor 159 . . . . 5 b ≤ (ab)
2726leror 152 . . . 4 (bd) ≤ ((ab) ∪ d)
2825, 27lel2or 170 . . 3 ((ca) ∪ (bd)) ≤ ((ab) ∪ d)
29 leao3 164 . . . . 5 (ca) ≤ (bc)
3029ler 149 . . . 4 (ca) ≤ ((bc) ∪ d)
31 leo 158 . . . . 5 b ≤ (bc)
3231leror 152 . . . 4 (bd) ≤ ((bc) ∪ d)
3330, 32lel2or 170 . . 3 ((ca) ∪ (bd)) ≤ ((bc) ∪ d)
3428, 33ler2an 173 . 2 ((ca) ∪ (bd)) ≤ (((ab) ∪ d) ∩ ((bc) ∪ d))
3523, 34lebi 145 1 (((ab) ∪ d) ∩ ((bc) ∪ d)) = ((ca) ∪ (bd))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  wo 6  wa 7  0wf 9
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-ml 1122
This theorem depends on definitions:  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-le1 130  df-le2 131
This theorem is referenced by:  vneulem8  1138
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