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Theorem addnqprllem 6683
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnqprllem  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  ->  ( X  <Q  S  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L ) )

Proof of Theorem addnqprllem
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 107 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  X  <Q  S )
2 ltrnqi 6577 . . . . . 6  |-  ( X 
<Q  S  ->  ( *Q
`  S )  <Q 
( *Q `  X
) )
3 ltrelnq 6521 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
43brel 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
<Q  S  ->  ( X  e.  Q.  /\  S  e.  Q. ) )
54adantl 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  e. 
Q.  /\  S  e.  Q. ) )
65simprd 111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  S  e.  Q. )
7 recclnq 6548 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Q.  ->  ( *Q `  S )  e. 
Q. )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( *Q `  S )  e.  Q. )
9 simplr 490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  X  e.  Q. )
10 recclnq 6548 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Q.  ->  ( *Q `  X )  e. 
Q. )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( *Q `  X )  e.  Q. )
12 ltmnqg 6557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( *Q `  S
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  X )  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  (
( *Q `  S
)  <Q  ( *Q `  X )  <->  ( X  .Q  ( *Q `  S
) )  <Q  ( X  .Q  ( *Q `  X ) ) ) )
138, 11, 9, 12syl3anc 1146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( *Q
`  S )  <Q 
( *Q `  X
)  <->  ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  <Q  ( X  .Q  ( *Q `  X
) ) ) )
14 ltmnqg 6557 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
1514adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  /\  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )  -> 
( y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y ) 
<Q  ( w  .Q  z
) ) )
16 mulclnq 6532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( *Q `  S )  e.  Q. )  -> 
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  e.  Q. )
179, 8, 16syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  e.  Q. )
18 mulclnq 6532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( *Q `  X )  e.  Q. )  -> 
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  e.  Q. )
199, 11, 18syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  e.  Q. )
20 elprnql 6637 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  ->  G  e.  Q. )
2120ad2antrr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  G  e.  Q. )
22 mulcomnqg 6539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  =  ( z  .Q  y ) )
2322adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  /\  (
y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
2415, 17, 19, 21, 23caovord2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  <Q 
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  <-> 
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) 
<Q  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) ) )
2513, 24bitrd 181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( *Q
`  S )  <Q 
( *Q `  X
)  <->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) ) )
262, 25syl5ib 147 . . . . 5  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( X  <Q  S  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) ) )
271, 26mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G ) )
28 recidnq 6549 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  Q.  ->  ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  =  1Q )
2928oveq1d 5555 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Q.  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  =  ( 1Q  .Q  G
) )
30 1nq 6522 . . . . . . . . 9  |-  1Q  e.  Q.
31 mulcomnqg 6539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  G  e.  Q. )  ->  ( 1Q  .Q  G
)  =  ( G  .Q  1Q ) )
3230, 31mpan 408 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  G )  =  ( G  .Q  1Q ) )
33 mulidnq 6545 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( G  .Q  1Q )  =  G )
3432, 33eqtrd 2088 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  G )  =  G )
3529, 34sylan9eqr 2110 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  =  G )
3635breq2d 3804 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  (
( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  G ) )
3721, 9, 36syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q
`  S ) )  .Q  G )  <Q 
( ( X  .Q  ( *Q `  X ) )  .Q  G )  <-> 
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) 
<Q  G ) )
3827, 37mpbid 139 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  <Q  G )
39 prcdnql 6640 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  G  e.  L )  ->  (
( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G ) 
<Q  G  ->  ( ( X  .Q  ( *Q
`  S ) )  .Q  G )  e.  L ) )
4039ad2antrr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( ( X  .Q  ( *Q
`  S ) )  .Q  G )  <Q  G  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L
) )
4138, 40mpd 13 . 2  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  /\  X  <Q  S )  ->  ( ( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L
)
4241ex 112 1  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  G  e.  L )  /\  X  e.  Q. )  ->  ( X  <Q  S  ->  (
( X  .Q  ( *Q `  S ) )  .Q  G )  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   <.cop 3406   class class class wbr 3792   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   Q.cnq 6436   1Qc1q 6437    .Q cmq 6439   *Qcrq 6440    <Q cltq 6441   P.cnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-lti 6463  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-inp 6622
This theorem is referenced by:  addnqprl  6685
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