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Theorem caubnd2 10141
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
caubnd2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
)
Distinct variable groups:    j, k, x, y, F    j, M, k, x    j, Z, k, x, y
Allowed substitution hint:    M( y)

Proof of Theorem caubnd2
StepHypRef Expression
1 1rp 8819 . . 3  |-  1  e.  RR+
2 breq2 3797 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
) )
32anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) ) )
43rexralbidv 2393 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) ) )
54rspcv 2698 . . 3  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 ) ) )
61, 5ax-mp 7 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 ) )
7 eluzelz 8709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
8 cau3.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
97, 8eleq2s 2174 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
10 uzid 8714 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
119, 10syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
12 simpl 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1312ralimi 2427 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  CC )
14 fveq2 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1514eleq1d 2148 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
1615rspcva 2700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( ZZ>= `  j )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
1711, 13, 16syl2an 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
18 abscl 10075 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  j )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  e.  RR )
1917, 18syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  e.  RR )
20 1re 7180 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
21 readdcl 7161 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  ( F `  j )
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR )
2219, 20, 21sylancl 404 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR )
23 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
24 simplr 497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
25 abs2dif 10130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
2623, 24, 25syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  <_  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) ) )
27 abscl 10075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  e.  RR )
2823, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
2924, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  e.  RR )
3028, 29resubcld 7552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
3123, 24subcld 7486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) )  e.  CC )
32 abscl 10075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  -  ( F `
 j ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  e.  RR )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
34 lelttr 7266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3520, 34mp3an3 1258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3630, 33, 35syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  -  ( abs `  ( F `
 j ) ) )  <  1 ) )
3726, 36mpand 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <  1 ) )
38 ltsubadd2 7604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 j ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  k )
)  -  ( abs `  ( F `  j
) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
3920, 38mp3an3 1258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 j ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  k
) )  -  ( abs `  ( F `  j ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4028, 29, 39syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 k ) )  -  ( abs `  ( F `  j )
) )  <  1  <->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 ) ) )
4137, 40sylibd 147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j
)  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
4241expimpd 355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  1
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4342ralimdv 2431 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  1 )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 ) ) )
4443impancom 256 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  (
( F `  j
)  e.  CC  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4517, 44mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) )
46 breq2 3797 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  < 
y  <->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( ( abs `  ( F `  j ) )  +  1 ) ) )
4746ralbidv 2369 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( abs `  ( F `  j
) )  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) ) )
4847rspcev 2702 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  j )
)  +  1 )  e.  RR  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  (
( abs `  ( F `  j )
)  +  1 ) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
4922, 45, 48syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
) )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
5049ex 113 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
) )
5150reximia 2457 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  E. j  e.  Z  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
52 rexcom 2519 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y  <->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
5351, 52sylib 120 . 2  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  ( F `  j ) ) )  <  1
)  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( F `  k )
)  <  y )
546, 53syl 14 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( F `  k
) )  <  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216    - cmin 7346   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   RR+crp 8815   abscabs 10021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157  ax-caucvg 7158
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-cj 9867  df-re 9868  df-im 9869  df-rsqrt 10022  df-abs 10023
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