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Theorem dvrecap 12846

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvrecap	# #

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvrecap Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5161	. . . . . . . . 9 #
2		funforn 5352	. . . . . . . . 9 # # # #
3	1, 2	mpbi 144	. . . . . . . 8 # # #
4		fof 5345	. . . . . . . 8 # # # # # #
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 # # #
6		simpl 108	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
7		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 # #
8	7	elrab 2840	. . . . . . . . . . . . 13 # $/\$ #
9	8	biimpi 119	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
10	9	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $/\$ #
11	10	simpld 111	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
12	10	simprd 113	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
13	6, 11, 12	divclapd 8550	. . . . . . . . 9 $/\$ #
14	13	ralrimiva 2505	. . . . . . . 8 #
15		eqid 2139	. . . . . . . . 9 # #
16	15	rnmptss 5581	. . . . . . . 8 # #
17	14, 16	syl 14	. . . . . . 7 #
18		fss 5284	. . . . . . 7 # # # $/\$ # # #
19	5, 17, 18	sylancr 410	. . . . . 6 # #
20	15	dmmpt 5034	. . . . . . 7 # #
21		ssrab2 3182	. . . . . . . 8 # #
22		ssrab2 3182	. . . . . . . 8 #
23	21, 22	sstri 3106	. . . . . . 7 #
24	20, 23	eqsstri 3129	. . . . . 6 #
25		cnex 7744	. . . . . . 7
26	25, 25	elpm2 6574	. . . . . 6 # # # $/\$ #
27	19, 24, 26	sylanblrc 412	. . . . 5 #
28		dvfcnpm 12828	. . . . 5 # # #
29	27, 28	syl 14	. . . 4 # #
30		ssidd 3118	. . . . . . 7
31		divclap 8438	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
32	31	3expb 1182	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ #
33	8, 32	sylan2b 285	. . . . . . . 8 $/\$ #
34	33	fmpttd 5575	. . . . . . 7 # #
35	22	a1i 9	. . . . . . 7 #
36	30, 34, 35	dvbss 12823	. . . . . 6 # #
37		elrabi 2837	. . . . . . . 8 #
38	37	adantl 275	. . . . . . 7 $/\$ #
39		simpl 108	. . . . . . . . 9 $/\$ #
40	38	sqcld 10422	. . . . . . . . 9 $/\$ #
41		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . 13 # #
42	41	elrab 2840	. . . . . . . . . . . 12 # $/\$ #
43	42	simprbi 273	. . . . . . . . . . 11 # #
44	43	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ # #
45		sqap0 10359	. . . . . . . . . . 11 # #
46	38, 45	syl 14	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
47	44, 46	mpbird 166	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
48	39, 40, 47	divclapd 8550	. . . . . . . 8 $/\$ #
49	48	negcld 8060	. . . . . . 7 $/\$ #
50		simpr 109	. . . . . . . . 9 $/\$ # #
51		eqid 2139	. . . . . . . . . . 11
52	51	cntoptop 12702	. . . . . . . . . 10
53		0cn 7758	. . . . . . . . . . 11
54		cnopnap 12763	. . . . . . . . . . 11 #
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 #
56		isopn3i 12304	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # #
57	52, 55, 56	mp2an 422	. . . . . . . . 9 # #
58	50, 57	eleqtrrdi 2233	. . . . . . . 8 $/\$ # #
59	38	sqvald 10421	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
60	59	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
61	39, 38, 38, 44, 44	divdivap1d 8582	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ #
62	60, 61	eqtr4d 2175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
63	62	negeqd 7957	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
64	39, 38, 44	divclapd 8550	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
65	64, 38, 44	divnegapd 8563	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
66	63, 65	eqtrd 2172	. . . . . . . . . 10 $/\$ #
67	64	negcld 8060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ #
68		eqid 2139	. . . . . . . . . . . . 13 # #
69	68	cdivcncfap 12756	. . . . . . . . . . . 12 # #
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
71		oveq2 5782	. . . . . . . . . . 11
72	70, 50, 71	cnmptlimc 12812	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim
73	66, 72	eqeltrd 2216	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim
74		cncff 12733	. . . . . . . . . . . 12 # # # #
75	70, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # #
76	22	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
77	75, 76	limcdifap 12800	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # lim # # # lim
78		elrabi 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # # #
79	78	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
80		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 # #
81	80	elrab 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 # $/\$ #
82	79, 81	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # $/\$ #
83	82	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
84	37	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
85	83, 84	subcld 8073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
86	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
87	81	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
88	79, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
89	86, 83, 88	divclapd 8550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
90		mulneg12 8159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
92	84, 83, 89	subdird 8177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
93	83, 84	negsubdi2d 8089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # #
94	93	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
95		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		simpll 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # #
97	96, 83, 88	divclapd 8550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
98	15, 95, 79, 97	fvmptd3 5514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
99	43	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ # $/\$ # # #
100	96, 84, 99	divcanap2d 8552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # #
101	100	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
102	84, 86, 83, 88	divassapd 8586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
104		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ # $/\$ # # #
106	15, 104, 105, 86	fvmptd3 5514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # # #
107	86, 83, 88	divcanap2d 8552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ # $/\$ # #
108	106, 107	eqtr4d 2175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ # $/\$ # # #
109	103, 108	oveq12d 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # # # #
110	92, 94, 109	3eqtr4d 2182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # # #
111	86, 83, 88	divnegapd 8563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ # $/\$ # #
112	111	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
113	91, 110, 112	3eqtr3d 2180	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # # #
114	113	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # # # #
115	86	negcld 8060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # #
116	115, 83, 88	divclapd 8550	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # #
117		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
118	117	elrab 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # # $/\$ #
119	118	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # #
120	119	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ # $/\$ # # #
121	83, 84, 120	subap0d 8406	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ # $/\$ # # #
122	116, 85, 121	divcanap3d 8555	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ # $/\$ # #
123	114, 122	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ # # # #
124	123	mpteq2dva 4018	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ # # # # # # #
125		ssrab2 3182	. . . . . . . . . . . . 13 # # #
126		resmpt 4867	. . . . . . . . . . . . 13 # # # # # # # #
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 # # # # #
128	124, 127	syl6eqr 2190	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # # # # # # # #
129	128	oveq1d 5789	. . . . . . . . . 10 $/\$ # # # # # lim # # # lim
130	77, 129	eqtr4d 2175	. . . . . . . . 9 $/\$ # # lim # # # # lim
131	73, 130	eleqtrd 2218	. . . . . . . 8 $/\$ # # # # # lim
132	51	cntoptopon 12701	. . . . . . . . . 10 TopOn
133	132	toponrestid 12188	. . . . . . . . 9 ↾_t
134		eqid 2139	. . . . . . . . 9 # # # # # # # #
135		ssidd 3118	. . . . . . . . 9 $/\$ #
136	34	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ # # #
137	133, 51, 134, 135, 136, 76	eldvap 12820	. . . . . . . 8 $/\$ # # # $/\$ # # # # lim
138	58, 131, 137	mpbir2and 928	. . . . . . 7 $/\$ # #
139		breldmg 4745	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # #
140	38, 49, 138, 139	syl3anc 1216	. . . . . 6 $/\$ # #
141	36, 140	eqelssd 3116	. . . . 5 # #
142	141	feq2d 5260	. . . 4 # # # #
143	29, 142	mpbid 146	. . 3 # #
144	143	ffnd 5273	. 2 # #
145	11	sqcld 10422	. . . . . 6 $/\$ #
146		sqap0 10359	. . . . . . . 8 # #
147	11, 146	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ # # #
148	12, 147	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ # #
149	6, 145, 148	divclapd 8550	. . . . 5 $/\$ #
150	149	negcld 8060	. . . 4 $/\$ #
151	150	ralrimiva 2505	. . 3 #
152		eqid 2139	. . . 4 # #
153	152	fnmpt 5249	. . 3 # # #
154	151, 153	syl 14	. 2 # #
155	29	ffund 5276	. . . . 5 #
156	155	adantr 274	. . . 4 $/\$ # #
157		funbrfv 5460	. . . 4 # # #
158	156, 138, 157	sylc 62	. . 3 $/\$ # #
159		oveq1 5781	. . . . . 6
160	159	oveq2d 5790	. . . . 5
161	160	negeqd 7957	. . . 4
162	152, 161, 50, 49	fvmptd3 5514	. . 3 $/\$ # #
163	158, 162	eqtr4d 2175	. 2 $/\$ # # #
164	144, 154, 163	eqfnfvd 5521	1 # #

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104

wceq 1331

wcel 1480

wral 2416

crab 2420

cvv 2686

wss 3071 class class class wbr 3929

cmpt 3989

cdm 4539

crn 4540

cres 4541

ccom 4543

wfun 5117

wfn 5118

wf 5119

wfo 5121

cfv 5123 (class class class)co 5774

cpm 6543

cc 7618

cc0 7620

cmul 7625

cmin 7933

cneg 7934 # cap 8343

cdiv 8432

c2 8771

cexp 10292

cabs 10769

cmopn 12154

ctop 12164

cnt 12262

ccncf 12726 lim

climc 12792

cdv 12793

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-1cn 7713 ax-1re 7714 ax-icn 7715 ax-addcl 7716 ax-addrcl 7717 ax-mulcl 7718 ax-mulrcl 7719 ax-addcom 7720 ax-mulcom 7721 ax-addass 7722 ax-mulass 7723 ax-distr 7724 ax-i2m1 7725 ax-0lt1 7726 ax-1rid 7727 ax-0id 7728 ax-rnegex 7729 ax-precex 7730 ax-cnre 7731 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734 ax-pre-apti 7735 ax-pre-ltadd 7736 ax-pre-mulgt0 7737 ax-pre-mulext 7738 ax-arch 7739 ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 816 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rmo 2424 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-if 3475 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-ilim 4291 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-isom 5132 df-riota 5730 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-frec 6288 df-map 6544 df-pm 6545 df-sup 6871 df-inf 6872 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805 df-le 7806 df-sub 7935 df-neg 7936 df-reap 8337 df-ap 8344 df-div 8433 df-inn 8721 df-2 8779 df-3 8780 df-4 8781 df-n0 8978 df-z 9055 df-uz 9327 df-q 9412 df-rp 9442 df-xneg 9559 df-xadd 9560 df-seqfrec 10219 df-exp 10293 df-cj 10614 df-re 10615 df-im 10616 df-rsqrt 10770 df-abs 10771 df-rest 12122 df-topgen 12141 df-psmet 12156 df-xmet 12157 df-met 12158 df-bl 12159 df-mopn 12160 df-top 12165 df-topon 12178 df-bases 12210 df-ntr 12265 df-cn 12357 df-cnp 12358 df-cncf 12727 df-limced 12794 df-dvap 12795

This theorem is referenced by: (None)

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