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Theorem elz2 8370
Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elz2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
Distinct variable group:    x, y, N

Proof of Theorem elz2
StepHypRef Expression
1 elznn0 8317 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
2 nn0p1nn 8278 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
32adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN )
4 1nn 8001 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
54a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  NN )
6 recn 7072 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
76adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
8 ax-1cn 7035 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
9 pncan 7280 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
107, 8, 9sylancl 398 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
1110eqcomd 2061 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
12 rspceov 5575 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  1  e.  NN  /\  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
133, 5, 11, 12syl3anc 1146 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
144a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  1  e.  NN )
156adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
16 negsub 7322 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  +  -u N )  =  ( 1  -  N ) )
178, 15, 16sylancr 399 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  =  ( 1  -  N ) )
18 simpr 107 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  -> 
-u N  e.  NN0 )
19 nnnn0addcl 8269 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  e.  NN )
204, 18, 19sylancr 399 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  e.  NN )
2117, 20eqeltrrd 2131 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  N
)  e.  NN )
22 nncan 7303 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  N ) )  =  N )
238, 15, 22sylancr 399 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  (
1  -  N ) )  =  N )
2423eqcomd 2061 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  N  =  ( 1  -  ( 1  -  N ) ) )
25 rspceov 5575 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 1  -  N
)  e.  NN  /\  N  =  ( 1  -  ( 1  -  N ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
2614, 21, 24, 25syl3anc 1146 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
2713, 26jaodan 721 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
28 nnre 7997 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
29 nnre 7997 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
30 resubcl 7338 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
3128, 29, 30syl2an 277 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
32 nnz 8321 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
33 nnz 8321 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
34 zletric 8346 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
3532, 33, 34syl2anr 278 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
36 nnnn0 8246 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
37 nnnn0 8246 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
38 nn0sub 8368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( y  <_  x  <->  ( x  -  y )  e.  NN0 ) )
3936, 37, 38syl2anr 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <_  x  <->  ( x  -  y )  e.  NN0 ) )
40 nn0sub 8368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  y  <->  ( y  -  x )  e.  NN0 ) )
4137, 36, 40syl2an 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  -  x )  e.  NN0 ) )
42 nncn 7998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
43 nncn 7998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
44 negsubdi2 7333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  -> 
-u ( x  -  y )  =  ( y  -  x ) )
4542, 43, 44syl2an 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  -> 
-u ( x  -  y )  =  ( y  -  x ) )
4645eleq1d 2122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u ( x  -  y )  e. 
NN0 
<->  ( y  -  x
)  e.  NN0 )
)
4741, 46bitr4d 184 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
)
4839, 47orbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  <_  x  \/  x  <_  y )  <->  ( ( x  -  y )  e. 
NN0  \/  -u ( x  -  y )  e. 
NN0 ) ) )
4935, 48mpbid 139 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
)
5031, 49jca 294 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  -  y )  e.  RR  /\  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) )
51 eleq1 2116 . . . . . 6  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  <->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
52 eleq1 2116 . . . . . . 7  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  NN0  <->  ( x  -  y )  e. 
NN0 ) )
53 negeq 7267 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  -u N  =  -u ( x  -  y ) )
5453eleq1d 2122 . . . . . . 7  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( -u N  e.  NN0  <->  -u ( x  -  y )  e. 
NN0 ) )
5552, 54orbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  (
( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) 
<->  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) )
5651, 55anbi12d 450 . . . . 5  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  (
( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  <->  ( (
x  -  y )  e.  RR  /\  (
( x  -  y
)  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) ) )
5750, 56syl5ibrcom 150 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) ) )
5857rexlimivv 2455 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
5927, 58impbii 121 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
601, 59bitri 177 1  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    = wceq 1259    e. wcel 1409   E.wrex 2324   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   1c1 6948    + caddc 6950    <_ cle 7120    - cmin 7245   -ucneg 7246   NNcn 7990   NN0cn0 8239   ZZcz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303
This theorem is referenced by:  dfz2  8371
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