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Theorem ltoddhalfle 10205
Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltoddhalfle  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )

Proof of Theorem ltoddhalfle
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 10184 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
2 halfre 8195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
32a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
4 1red 7100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
5 zre 8306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  RR )
63, 4, 53jca 1095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )
76adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  / 
2 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)
8 halflt1 8199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  <  1
9 axltadd 7148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  (
( 1  /  2
)  <  1  ->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( n  + 
1 ) ) )
107, 8, 9mpisyl 1351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( n  +  1 ) )
11 zre 8306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1211adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
135, 3readdcld 7114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
1413adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
15 peano2z 8338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
1615zred 8419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
1716adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
18 lttr 7151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( n  +  (
1  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR )  ->  ( ( M  <  ( n  +  ( 1  /  2
) )  /\  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( n  + 
1 ) )  ->  M  <  ( n  + 
1 ) ) )
1912, 14, 17, 18syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( M  < 
( n  +  ( 1  /  2 ) )  /\  ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  < 
( n  +  1 ) )  ->  M  <  ( n  +  1 ) ) )
2010, 19mpan2d 412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  ->  M  <  (
n  +  1 ) ) )
21 zleltp1 8357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  n  <->  M  <  ( n  + 
1 ) ) )
2221ancoms 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  n  <->  M  <  ( n  + 
1 ) ) )
2320, 22sylibrd 162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  ->  M  <_  n
) )
24 halfgt0 8197 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 1  /  2
)
253, 5jca 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)
2625adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  / 
2 )  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )
27 ltaddpos 7521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( 0  <  (
1  /  2 )  <-> 
n  <  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  (
1  /  2 )  <-> 
n  <  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
2924, 28mpbii 140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  n  <  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) )
305adantr 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  n  e.  RR )
31 lelttr 7165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( M  <_  n  /\  n  <  (
n  +  ( 1  /  2 ) ) )  ->  M  <  ( n  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
3212, 30, 14, 31syl3anc 1146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  n  /\  n  <  (
n  +  ( 1  /  2 ) ) )  ->  M  <  ( n  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
3329, 32mpan2d 412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  n  ->  M  <  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
3423, 33impbid 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  <-> 
M  <_  n )
)
35 zcn 8307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
36 1cnd 7101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
37 2cn 8061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
38 2ap0 8083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2 #  0
3937, 38pm3.2i 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
4039a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )
41 muldivdirap 7758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2
)  =  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) )
4235, 36, 40, 41syl3anc 1146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  =  ( n  +  ( 1  /  2
) ) )
4342breq2d 3804 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <->  M  <  ( n  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
4443adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  <-> 
M  <  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
45 2z 8330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
4645a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
47 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ZZ )
4846, 47zmulcld 8425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
4948zcnd 8420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
5049adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
51 pncan1 7447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  n ) )
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  n ) )
5352oveq1d 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  - 
1 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  n )  /  2 ) )
54 2cnd 8063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
5538a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
5635, 54, 55divcanap3d 7845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  n
)  /  2 )  =  n )
5756adantr 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  /  2
)  =  n )
5853, 57eqtrd 2088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  - 
1 )  /  2
)  =  n )
5958breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 )  <-> 
M  <_  n )
)
6034, 44, 593bitr4d 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  <-> 
M  <_  ( (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 ) ) )
61 oveq1 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
6261breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  ( M  <  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <->  M  <  ( N  /  2 ) ) )
63 oveq1 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
6463oveq1d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
6564breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  ( M  <_  ( ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  -  1 )  / 
2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )
6662, 65bibi12d 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( M  <  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  <-> 
M  <_  ( (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 ) )  <-> 
( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )
6760, 66syl5ibcom 148 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( M  < 
( N  /  2
)  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )
6867ex 112 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  -> 
( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
6968adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( M  < 
( N  /  2
)  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
7069com23 76 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <  ( N  /  2
)  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
7170rexlimdva 2450 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
721, 71sylbid 143 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
73723imp 1109 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   E.wrex 2324   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    x. cmul 6952    < clt 7119    <_ cle 7120    - cmin 7245   # cap 7646    / cdiv 7725   2c2 8040   ZZcz 8302    || cdvds 10108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-xor 1283  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-dvds 10109
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