ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0 Unicode version

Theorem nqnq0 6597
Description: A positive fraction is a non-negative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0  |-  Q.  C_ Q0

Proof of Theorem nqnq0
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6504 . . . . 5  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
21eleq2i 2120 . . . 4  |-  ( y  e.  Q.  <->  y  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
3 vex 2577 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
43elqs 6188 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ( N. 
X.  N. ) /.  ~Q  ) 
<->  E. x  e.  ( N.  X.  N. )
y  =  [ x ]  ~Q  )
5 df-rex 2329 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( N. 
X.  N. ) y  =  [ x ]  ~Q  <->  E. x ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )
)
62, 4, 53bitri 199 . . 3  |-  ( y  e.  Q.  <->  E. x
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )
)
7 elxpi 4389 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. u E. v ( x  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )
8 nqnq0pi 6594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. u ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  )
98adantl 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ <. u ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  )
10 eceq1 6172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  [ x ] ~Q0  =  [ <. u ,  v >. ] ~Q0  )
11 eceq1 6172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  [ x ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  )
1210, 11eqeq12d 2070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( [ x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q  <->  [
<. u ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
1312adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [
x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q 
<->  [ <. u ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
149, 13mpbird 160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q  )
15 pinn 6465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  N.  ->  u  e.  om )
16 opelxpi 4404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
1715, 16sylan 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
1817adantl 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  <. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
19 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2019adantr 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2118, 20mpbird 160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  ( om  X.  N. )
)
22 enq0ex 6595 . . . . . . . . . . . 12  |- ~Q0  e.  _V
2322ecelqsi 6191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ x ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
24 df-nq0 6581 . . . . . . . . . . 11  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2523, 24syl6eleqr 2147 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ x ] ~Q0  e. Q0 )
2621, 25syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ] ~Q0  e. Q0 )
2714, 26eqeltrrd 2131 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
2827exlimivv 1792 . . . . . . 7  |-  ( E. u E. v ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
297, 28syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
3029adantr 265 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
31 eleq1 2116 . . . . . 6  |-  ( y  =  [ x ]  ~Q  ->  ( y  e. Q0  <->  [ x ]  ~Q  e. Q0 ) )
3231adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  ( y  e. Q0  <->  [ x ]  ~Q  e. Q0 ) )
3330, 32mpbird 160 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  y  e. Q0 )
3433exlimiv 1505 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )  ->  y  e. Q0 )
356, 34sylbi 118 . 2  |-  ( y  e.  Q.  ->  y  e. Q0 )
3635ssriv 2977 1  |-  Q.  C_ Q0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   E.wrex 2324    C_ wss 2945   <.cop 3406   omcom 4341    X. cxp 4371   [cec 6135   /.cqs 6136   N.cnpi 6428    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436   ~Q0 ceq0 6442  Q0cnq0 6443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-enq0 6580  df-nq0 6581
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6656  prarloclemcalc  6658
  Copyright terms: Public domain W3C validator