Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recriota Unicode version

Theorem recriota 7022
 Description: Two ways to express the reciprocal of a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
recriota
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem recriota
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pitore 6984 . . 3
2 pitoregt0 6983 . . 3
3 axprecex 7012 . . 3
41, 2, 3syl2anc 397 . 2
5 simprrr 500 . . . 4
6 simprl 491 . . . . 5
71adantr 265 . . . . . 6
82adantr 265 . . . . . 6
9 rereceu 7021 . . . . . 6
107, 8, 9syl2anc 397 . . . . 5
11 oveq2 5548 . . . . . . 7
1211eqeq1d 2064 . . . . . 6
1312riota2 5518 . . . . 5
146, 10, 13syl2anc 397 . . . 4
155, 14mpbid 139 . . 3
165oveq2d 5556 . . . 4
17 axresscn 6994 . . . . . . . . . 10
1817, 7sseldi 2971 . . . . . . . . 9
19 recnnre 6985 . . . . . . . . . . 11
2019adantr 265 . . . . . . . . . 10
2117, 20sseldi 2971 . . . . . . . . 9
22 axmulcom 7003 . . . . . . . . 9
2318, 21, 22syl2anc 397 . . . . . . . 8
24 recidpirq 6992 . . . . . . . . 9
2524adantr 265 . . . . . . . 8
2623, 25eqtr3d 2090 . . . . . . 7
2726oveq1d 5555 . . . . . 6
2817, 6sseldi 2971 . . . . . . 7
29 axmulass 7005 . . . . . . 7
3021, 18, 28, 29syl3anc 1146 . . . . . 6
31 ax1cn 6995 . . . . . . 7
32 axmulcom 7003 . . . . . . 7
3331, 28, 32sylancr 399 . . . . . 6
3427, 30, 333eqtr3d 2096 . . . . 5
35 ax1rid 7009 . . . . . 6
366, 35syl 14 . . . . 5
3734, 36eqtrd 2088 . . . 4
38 ax1rid 7009 . . . . 5
3920, 38syl 14 . . . 4
4016, 37, 393eqtr3d 2096 . . 3
4115, 40eqtrd 2088 . 2
424, 41rexlimddv 2454 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 101   wb 102   wceq 1259   wcel 1409  cab 2042  wrex 2324  wreu 2325  cop 3406   class class class wbr 3792  cfv 4930  crio 5495  (class class class)co 5540  c1o 6025  cec 6135  cnpi 6428   ceq 6435  crq 6440   cltq 6441  c1p 6448   cpp 6449   cer 6452  c0r 6454  cc 6945  cr 6946  cc0 6947  c1 6948   cltrr 6951   cmul 6952 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-imp 6625  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-mr 6872  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-m1r 6876  df-c 6953  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-mul 6959  df-lt 6960 This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  7030
 Copyright terms: Public domain W3C validator