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Theorem recvguniq 9822
Description: Limits are unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniq.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
recvguniq.lre  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
recvguniq.l  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
recvguniq.mre  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
recvguniq.m  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
recvguniq  |-  ( ph  ->  L  =  M )
Distinct variable groups:    j, F, x   
j, L, k, x   
j, M, k, x    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, j)    F( k)

Proof of Theorem recvguniq
StepHypRef Expression
1 recvguniq.lre . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
2 recvguniq.mre . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3 reaplt 7653 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L #  M  <->  ( L  <  M  \/  M  < 
L ) ) )
41, 2, 3syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L #  M  <->  ( L  <  M  \/  M  < 
L ) ) )
5 simpr 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  <  M )
61adantr 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  RR )
72adantr 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  RR )
8 difrp 8717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <  M  <->  ( M  -  L )  e.  RR+ ) )
96, 7, 8syl2anc 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  <  M  <->  ( M  -  L )  e.  RR+ ) )
105, 9mpbid 139 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  -  L )  e.  RR+ )
1110rphalfcld 8733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( M  -  L )  /  2 )  e.  RR+ )
12 recvguniq.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
13 recvguniq.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )
14 r19.26 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) )  <->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
1512, 13, 14sylanbrc 402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
16 nnuz 8604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1716rexanuz2 9818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
1817ralbii 2347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  A. x  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) ) ) )
1915, 18sylibr 141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2016r19.2uz 9820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2120ralimi 2401 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
2219, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( M  +  x
)  /\  M  <  ( ( F `  k
)  +  x ) ) ) )
2322adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
24 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( L  +  x )  =  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
2524breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
26 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
2726breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
2825, 27anbi12d 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) )
29 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( M  +  x )  =  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )
3029breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
3126breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( M  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) )
3230, 31anbi12d 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) )
3328, 32anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  (
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( (
( F `  k
)  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  L  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) ) ) ) )
3433rexbidv 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  -  L )  / 
2 )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )
3534rspcv 2669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  -  L
)  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )
3611, 23, 35sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )
37 recvguniq.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
3837ad2antrr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR )
392ad2antrr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
401ad2antrr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
41 simprl 491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
42 simprrr 500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )  ->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) )
4342adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  <  ( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )
44 simprll 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L )  /  2 ) ) )
4544adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )
4638, 39, 40, 41, 43, 45recvguniqlem 9821 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( M  -  L
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( M  -  L )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( M  -  L )  /  2
) ) ) ) ) )  -> F.  )
4736, 46rexlimddv 2454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  -> F.  )
4847ex 112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  <  M  -> F.  ) )
49 difrp 8717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  <  L  <->  ( L  -  M )  e.  RR+ ) )
502, 1, 49syl2anc 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  <  L  <->  ( L  -  M )  e.  RR+ ) )
5150biimpa 284 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  ( L  -  M )  e.  RR+ )
5251rphalfcld 8733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  ( ( L  -  M )  /  2 )  e.  RR+ )
5322adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) ) )
54 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( L  +  x )  =  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
5554breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
56 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  +  x )  =  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
5756breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
5855, 57anbi12d 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) )
59 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( M  +  x )  =  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )
6059breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( F `  k
)  <  ( M  +  x )  <->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
6156breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( M  <  ( ( F `
 k )  +  x )  <->  M  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) )
6260, 61anbi12d 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) )
6358, 62anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  (
( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
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)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  ( (
( F `  k
)  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  L  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) )  /\  M  <  (
( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) ) ) ) )
6463rexbidv 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( L  -  M )  / 
2 )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  x
)  /\  L  <  ( ( F `  k
)  +  x ) )  /\  ( ( F `  k )  <  ( M  +  x )  /\  M  <  ( ( F `  k )  +  x
) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
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2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
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) ) ) ) ) )
6564rspcv 2669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  -  M
)  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  x )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  x
) )  /\  (
( F `  k
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) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )
6652, 53, 65sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  ->  E. k  e.  NN  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( ( L  -  M )  /  2
) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )
6737ad2antrr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR )
681ad2antrr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
692ad2antrr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
70 simprl 491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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( F `  k
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) ) ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
71 simprlr 498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )  ->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) )
7271adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
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( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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( F `  k
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 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  L  <  ( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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73 simprrl 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  /  2 ) ) )
7473adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )  /\  (
( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <  ( M  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) ) )
7567, 68, 69, 70, 72, 74recvguniqlem 9821 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  <  L )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( ( L  -  M
)  /  2 ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( ( L  -  M
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( F `  k
)  <  ( M  +  ( ( L  -  M )  / 
2 ) )  /\  M  <  ( ( F `
 k )  +  ( ( L  -  M )  /  2
) ) ) ) ) )  -> F.  )
7666, 75rexlimddv 2454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  <  L )  -> F.  )
7776ex 112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  <  L  -> F.  ) )
7848, 77jaod 647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( L  < 
M  \/  M  < 
L )  -> F.  ) )
794, 78sylbid 143 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L #  M  -> F.  ) )
80 dfnot 1278 . . 3  |-  ( -.  L #  M  <->  ( L #  M  -> F.  ) )
8179, 80sylibr 141 . 2  |-  ( ph  ->  -.  L #  M )
821recnd 7113 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
832recnd 7113 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
84 apti 7687 . . 3  |-  ( ( L  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( L  =  M  <->  -.  L #  M )
)
8582, 83, 84syl2anc 397 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  =  M  <->  -.  L #  M )
)
8681, 85mpbird 160 1  |-  ( ph  ->  L  =  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    = wceq 1259   F. wfal 1264    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   class class class wbr 3792   -->wf 4926   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   1c1 6948    + caddc 6950    < clt 7119    - cmin 7245   # cap 7646    / cdiv 7725   NNcn 7990   2c2 8040   ZZ>=cuz 8569   RR+crp 8681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-rp 8682
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