Theorem resqrexlemsqa 10799

Description: Lemma for resqrex 10801. The square of a limit is A. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemsqa	|- ( ph -> ( L ^ 2 ) = A )

Distinct variable groups:   A, e, j   y, A, z   e, F, j   y, F, z   i, F   e, L, j, i   y, L, z   e, i, j   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( e, i, j)   A( i)

Proof of Theorem resqrexlemsqa

Dummy variables a b c d x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 10782	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5	4	ffvelrnda 5555	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. RR+ )
6		2z 9085	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> 2 e. ZZ )
8	5, 7	rpexpcld 10451	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) e. RR+ )
9		eqid 2139	. . . 4 |- ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
10	8, 9	fmptd 5574	. . 3 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR+ )
11		rpssre 9455	. . . 4 |- RR+ C_ RR
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
13	10, 12	fssd 5285	. 2 |- ( ph -> ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) : NN --> RR )
14		resqrexlemgt0.rr	. . 3 |- ( ph -> L e. RR )
15	14	resqcld 10453	. 2 |- ( ph -> ( L ^ 2 ) e. RR )
16		resqrexlemgt0.lim	. . . 4 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
17		oveq2 5782	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( L + e ) = ( L + a ) )
18	17	breq2d 3941	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + a ) ) )
19		oveq2 5782	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + a ) )
20	19	breq2d 3941	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
21	18, 20	anbi12d 464	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
22	21	rexralbidv 2461	. . . . . 6 |- ( e = a -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
23	22	cbvralv 2654	. . . . 5 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
24		fveq2 5421	. . . . . . . 8 |- ( j = b -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` b ) )
25	24	raleqdv 2632	. . . . . . 7 |- ( j = b -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) ) )
26	25	cbvrexv 2655	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
27	26	ralbii 2441	. . . . 5 |- ( A. a e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) )
28		fveq2 5421	. . . . . . . . . 10 |- ( i = c -> ( F ` i ) = ( F ` c ) )
29	28	breq1d 3939	. . . . . . . . 9 |- ( i = c -> ( ( F ` i ) < ( L + a ) <-> ( F ` c ) < ( L + a ) ) )
30	28	oveq1d 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( i = c -> ( ( F ` i ) + a ) = ( ( F ` c ) + a ) )
31	30	breq2d 3941	. . . . . . . . 9 |- ( i = c -> ( L < ( ( F ` i ) + a ) <-> L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
32	29, 31	anbi12d 464	. . . . . . . 8 |- ( i = c -> ( ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) ) )
33	32	cbvralv 2654	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
34	33	rexbii 2442	. . . . . 6 |- ( E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
35	34	ralbii 2441	. . . . 5 |- ( A. a e. RR+ E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` i ) + a ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
36	23, 27, 35	3bitri 205	. . . 4 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
37	16, 36	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. c e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` c ) < ( L + a ) /\ L < ( ( F ` c ) + a ) ) )
38	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemglsq 10797	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. d e. ( ZZ>= ` b ) ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) < ( ( L ^ 2 ) + a ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) + a ) ) )
39	1, 2, 3, 14, 37, 9	resqrexlemga 10798	. 2 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. b e. NN A. d e. ( ZZ>= ` b ) ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) < ( A + a ) /\ A < ( ( ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) ) ` d ) + a ) ) )
40	13, 15, 38, 2, 39	recvguniq 10770	1 |- ( ph -> ( L ^ 2 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   C_ wss 3071   {csn 3527   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   RRcr 7622   0cc0 7623   1c1 7624   + caddc 7626   < clt 7803   <_ cle 7804   / cdiv 8435   NNcn 8723   2c2 8774   ZZcz 9057   ZZ>=cuz 9329   RR+crp 9444   seqcseq 10221   ^cexp 10295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-rp 9445  df-seqfrec 10222  df-exp 10296

This theorem is referenced by:  resqrexlemex  10800