ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snfig Unicode version

Theorem snfig 6350
Description: A singleton is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
snfig  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  Fin )

Proof of Theorem snfig
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 6152 . . 3  |-  1o  e.  om
2 ensn1g 6336 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
3 breq2 3791 . . . 4  |-  ( x  =  1o  ->  ( { A }  ~~  x  <->  { A }  ~~  1o ) )
43rspcev 2702 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  { A }  ~~  1o )  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
51, 2, 4sylancr 405 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
6 isfi 6300 . 2  |-  ( { A }  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
75, 6sylibr 132 1  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1434   E.wrex 2350   {csn 3400   class class class wbr 3787   omcom 4333   1oc1o 6052    ~~ cen 6278   Fincfn 6280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-1o 6059  df-en 6281  df-fin 6283
This theorem is referenced by:  fiprc  6351  ssfiexmid  6401  domfiexmid  6403  diffitest  6411  unfiexmid  6428  sizesng  9811  sizeen1  9812  sizeunsng  9820  sizeprg  9821
  Copyright terms: Public domain W3C validator