ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climrecvg1n GIF version

Theorem climrecvg1n 9720
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
climrecvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climrecvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
climrecvg1n (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climrecvg1n
Dummy variables 𝑒 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecvg1n.f . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
2 climrecvg1n.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 climrecvg1n.cau . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
43r19.21bi 2404 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
54r19.21bi 2404 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
61ad2antrr 457 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7 eluznn 8486 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87adantll 445 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
96, 8ffvelrnd 5266 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
10 simplr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
116, 10ffvelrnd 5266 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
122ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1310nnrpd 8568 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
1412, 13rpdivcld 8587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1514rpred 8569 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
169, 11, 15absdifltd 9628 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) ↔ (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
175, 16mpbid 135 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
1811, 15, 9ltsubaddd 7486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛))))
1918anbi1d 438 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝐹𝑛) − (𝐶 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)))))
2017, 19mpbid 135 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
2120ralrimiva 2389 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
2221ralrimiva 2389 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
231, 2, 22cvg1n 9439 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
241adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2524ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
26 eluznn 8486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
2726adantll 445 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑗 ∈ ℕ)
2825, 27ffvelrnd 5266 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
29 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3029ad3antrrr 461 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ)
31 simpllr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
3231rpred 8569 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑒 ∈ ℝ)
3328, 30, 32absdifltd 9628 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
3430, 32, 28ltsubaddd 7486 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ↔ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
3534anbi1d 438 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑦𝑒) < (𝐹𝑗) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ (𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
3633, 35bitrd 177 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒))))
37 ancom 253 . . . . . . . 8 ((𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒) ∧ (𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))
3836, 37syl6bb 185 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑖)) → ((abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
3938ralbidva 2319 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
4039rexbidva 2320 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
4140ralbidva 2319 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒))))
42 nnuz 8456 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
43 1zzd 8220 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
44 nnex 7872 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
4544a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ℕ ∈ V)
46 reex 6972 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
4746a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
48 fex2 5022 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶ℝ ∧ ℕ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
4924, 45, 47, 48syl3anc 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ V)
50 eqidd 2041 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
5129recnd 7010 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5224ffvelrnda 5265 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
5352recnd 7010 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
5442, 43, 49, 50, 51, 53clim2c 9658 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒))
55 climrel 9654 . . . . . 6 Rel ⇝
5655releldmi 4536 . . . . 5 (𝐹𝑦𝐹 ∈ dom ⇝ )
5754, 56syl6bir 153 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < 𝑒𝐹 ∈ dom ⇝ ))
5841, 57sylbird 159 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ ))
5958impr 361 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑖)((𝐹𝑗) < (𝑦 + 𝑒) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑗) + 𝑒)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6023, 59rexlimddv 2434 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wcel 1393  wral 2303  wrex 2304  Vcvv 2554   class class class wbr 3761  dom cdm 4308  wf 4861  cfv 4865  (class class class)co 5475  cr 6845  1c1 6847   + caddc 6849   < clt 7016  cmin 7138   / cdiv 7603  cn 7866  cuz 8421  +crp 8530  abscabs 9449  cli 9652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-mulrcl 6940  ax-addcom 6941  ax-mulcom 6942  ax-addass 6943  ax-mulass 6944  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-1rid 6948  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-precex 6951  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-apti 6956  ax-pre-ltadd 6957  ax-pre-mulgt0 6958  ax-pre-mulext 6959  ax-arch 6960  ax-caucvg 6961
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-if 3329  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-frec 5941  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-reap 7518  df-ap 7525  df-div 7604  df-inn 7867  df-2 7925  df-3 7926  df-4 7927  df-n0 8130  df-z 8194  df-uz 8422  df-rp 8531  df-iseq 9066  df-iexp 9109  df-cj 9296  df-re 9297  df-im 9298  df-rsqrt 9450  df-abs 9451  df-clim 9653
This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  9721
  Copyright terms: Public domain W3C validator