Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdg0 GIF version

Theorem frecuzrdg0 8881
 Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 8866 for the description of 𝐺 as the mapping from 𝜔 to (ℤ≥‘𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
uzrdg.s (φ𝑆 𝑉)
uzrdg.a (φA 𝑆)
uzrdg.f ((φ (x (ℤ𝐶) y 𝑆)) → (x𝐹y) 𝑆)
uzrdg.2 𝑅 = frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)
frecuzrdgfn.3 (φ𝑇 = ran 𝑅)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdg0 (φ → (𝑇𝐶) = A)
Distinct variable groups:   y,A   x,𝐶,y   y,𝐺   x,𝐹,y   x,𝑆,y   φ,x,y
Allowed substitution hints:   A(x)   𝑅(x,y)   𝑇(x,y)   𝐺(x)   𝑉(x,y)

Proof of Theorem frecuzrdg0
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4 (φ𝐶 ℤ)
2 frec2uz.2 . . . 4 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
3 uzrdg.s . . . 4 (φ𝑆 𝑉)
4 uzrdg.a . . . 4 (φA 𝑆)
5 uzrdg.f . . . 4 ((φ (x (ℤ𝐶) y 𝑆)) → (x𝐹y) 𝑆)
6 uzrdg.2 . . . 4 𝑅 = frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)
7 frecuzrdgfn.3 . . . 4 (φ𝑇 = ran 𝑅)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7frecuzrdgfn 8879 . . 3 (φ𝑇 Fn (ℤ𝐶))
9 fnfun 4939 . . 3 (𝑇 Fn (ℤ𝐶) → Fun 𝑇)
108, 9syl 14 . 2 (φ → Fun 𝑇)
116fveq1i 5122 . . . . 5 (𝑅‘∅) = (frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)‘∅)
12 opexg 3955 . . . . . . 7 ((𝐶 A 𝑆) → ⟨𝐶, A V)
131, 4, 12syl2anc 391 . . . . . 6 (φ → ⟨𝐶, A V)
14 frec0g 5922 . . . . . 6 (⟨𝐶, A V → (frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)‘∅) = ⟨𝐶, A⟩)
1513, 14syl 14 . . . . 5 (φ → (frec((x (ℤ𝐶), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x𝐹y)⟩), ⟨𝐶, A⟩)‘∅) = ⟨𝐶, A⟩)
1611, 15syl5eq 2081 . . . 4 (φ → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, A⟩)
171, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgrom 8877 . . . . 5 (φ𝑅 Fn 𝜔)
18 peano1 4260 . . . . 5 𝜔
19 fnfvelrn 5242 . . . . 5 ((𝑅 Fn 𝜔 𝜔) → (𝑅‘∅) ran 𝑅)
2017, 18, 19sylancl 392 . . . 4 (φ → (𝑅‘∅) ran 𝑅)
2116, 20eqeltrrd 2112 . . 3 (φ → ⟨𝐶, A ran 𝑅)
2221, 7eleqtrrd 2114 . 2 (φ → ⟨𝐶, A 𝑇)
23 funopfv 5156 . 2 (Fun 𝑇 → (⟨𝐶, A 𝑇 → (𝑇𝐶) = A))
2410, 22, 23sylc 56 1 (φ → (𝑇𝐶) = A)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  ∅c0 3218  ⟨cop 3370   ↦ cmpt 3809  𝜔com 4256  ran crn 4289  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455   ↦ cmpt2 5457  freccfrec 5917  1c1 6712   + caddc 6714  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250 This theorem is referenced by:  iseq1  8902
 Copyright terms: Public domain W3C validator