ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdg0 GIF version

Theorem frecuzrdg0 9054
Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 9039 for the description of 𝐺 as the mapping from ω to (ℤ𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
uzrdg.s (𝜑𝑆𝑉)
uzrdg.a (𝜑𝐴𝑆)
uzrdg.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
uzrdg.2 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgfn.3 (𝜑𝑇 = ran 𝑅)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdg0 (𝜑 → (𝑇𝐶) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdg0
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 uzrdg.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 uzrdg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
5 uzrdg.f . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
6 uzrdg.2 . . . 4 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
7 frecuzrdgfn.3 . . . 4 (𝜑𝑇 = ran 𝑅)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7frecuzrdgfn 9052 . . 3 (𝜑𝑇 Fn (ℤ𝐶))
9 fnfun 4959 . . 3 (𝑇 Fn (ℤ𝐶) → Fun 𝑇)
108, 9syl 14 . 2 (𝜑 → Fun 𝑇)
116fveq1i 5142 . . . . 5 (𝑅‘∅) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅)
12 opexg 3961 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
131, 4, 12syl2anc 391 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
14 frec0g 5946 . . . . . 6 (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
1513, 14syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
1611, 15syl5eq 2084 . . . 4 (𝜑 → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
171, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgrom 9050 . . . . 5 (𝜑𝑅 Fn ω)
18 peano1 4280 . . . . 5 ∅ ∈ ω
19 fnfvelrn 5262 . . . . 5 ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
2017, 18, 19sylancl 392 . . . 4 (𝜑 → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
2116, 20eqeltrrd 2115 . . 3 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅)
2221, 7eleqtrrd 2117 . 2 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑇)
23 funopfv 5176 . 2 (Fun 𝑇 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑇 → (𝑇𝐶) = 𝐴))
2410, 22, 23sylc 56 1 (𝜑 → (𝑇𝐶) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  Vcvv 2554  c0 3221  cop 3375  cmpt 3815  ωcom 4276  ran crn 4309  Fun wfun 4859   Fn wfn 4860  cfv 4865  (class class class)co 5475  cmpt2 5477  freccfrec 5940  1c1 6847   + caddc 6849  cz 8193  cuz 8421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-addcom 6941  ax-addass 6943  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-ltadd 6957
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-frec 5941  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-inn 7867  df-n0 8130  df-z 8194  df-uz 8422
This theorem is referenced by:  iseq1  9076
  Copyright terms: Public domain W3C validator