ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnnnq GIF version

Theorem ltnnnq 6578
Description: Ordering of positive integers via <N or <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ltnnnq ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ))

Proof of Theorem ltnnnq
StepHypRef Expression
1 simpl 106 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → 𝐴N)
2 1pi 6470 . . . 4 1𝑜N
32a1i 9 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → 1𝑜N)
4 simpr 107 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → 𝐵N)
5 ordpipqqs 6529 . . 3 (((𝐴N ∧ 1𝑜N) ∧ (𝐵N ∧ 1𝑜N)) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵)))
61, 3, 4, 3, 5syl22anc 1147 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵)))
7 mulidpi 6473 . . . 4 (𝐴N → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
81, 7syl 14 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
9 mulcompig 6486 . . . . 5 ((1𝑜N𝐵N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1𝑜))
102, 4, 9sylancr 399 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1𝑜))
11 mulidpi 6473 . . . . 5 (𝐵N → (𝐵 ·N 1𝑜) = 𝐵)
124, 11syl 14 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐵 ·N 1𝑜) = 𝐵)
1310, 12eqtrd 2088 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = 𝐵)
148, 13breq12d 3804 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵) ↔ 𝐴 <N 𝐵))
156, 14bitr2d 182 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  cop 3405   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  1𝑜c1o 6024  [cec 6134  Ncnpi 6427   ·N cmi 6429   <N clti 6430   ~Q ceq 6434   <Q cltq 6440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-lti 6462  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-ltnqqs 6508
This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  6820  caucvgprprlemk  6838  ltrennb  6987
  Copyright terms: Public domain W3C validator