Theorem ordpipqqs 6358

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipqqs	⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (A ·N 𝐷) <N (B ·N 𝐶)))

Proof of Theorem ordpipqqs

Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 6344	. 2 ⊢ ~Q ∈ V
2		enqer 6342	. 2 ⊢ ~Q Er (N × N)
3		df-nqqs 6332	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
4		df-ltnqqs 6337	. 2 ⊢ <Q = {⟨x, y⟩ ∣ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) ∧ ∃z∃w∃v∃u((x = [⟨z, w⟩] ~Q ∧ y = [⟨v, u⟩] ~Q ) ∧ (z ·N u) <N (w ·N v)))}
5		enqeceq 6343	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q ↔ (z ·N B) = (w ·N A)))
6		enqeceq 6343	. . . . . 6 ⊢ (((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (v ·N 𝐷) = (u ·N 𝐶)))
7		eqcom 2039	. . . . . 6 ⊢ ((v ·N 𝐷) = (u ·N 𝐶) ↔ (u ·N 𝐶) = (v ·N 𝐷))
8	6, 7	syl6bb 185	. . . . 5 ⊢ (((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨v, u⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (u ·N 𝐶) = (v ·N 𝐷)))
9	5, 8	bi2anan9 538	. . . 4 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q ∧ [⟨v, u⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) ↔ ((z ·N B) = (w ·N A) ∧ (u ·N 𝐶) = (v ·N 𝐷))))
10		oveq12 5464	. . . . 5 ⊢ (((z ·N B) = (w ·N A) ∧ (u ·N 𝐶) = (v ·N 𝐷)) → ((z ·N B) ·N (u ·N 𝐶)) = ((w ·N A) ·N (v ·N 𝐷)))
11		simplll 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → z ∈ N)
12		simprlr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → u ∈ N)
13		simplrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → B ∈ N)
14		mulcompig 6315	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (x ·N y) = (y ·N x))
15	14	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ (((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N)) → (x ·N y) = (y ·N x))
16		mulasspig 6316	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ f ∈ N) → ((x ·N y) ·N f) = (x ·N (y ·N f)))
17	16	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ (((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ f ∈ N)) → ((x ·N y) ·N f) = (x ·N (y ·N f)))
18		simprrl 491	. . . . . . 7 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
19		mulclpi 6312	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (x ·N y) ∈ N)
20	19	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ (((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N)) → (x ·N y) ∈ N)
21	11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	caov4d 5627	. . . . . 6 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → ((z ·N u) ·N (B ·N 𝐶)) = ((z ·N B) ·N (u ·N 𝐶)))
22		simpllr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → w ∈ N)
23		simprll 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → v ∈ N)
24		simplrl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → A ∈ N)
25		simprrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
26	22, 23, 24, 15, 17, 25, 20	caov4d 5627	. . . . . 6 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → ((w ·N v) ·N (A ·N 𝐷)) = ((w ·N A) ·N (v ·N 𝐷)))
27	21, 26	eqeq12d 2051	. . . . 5 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((z ·N u) ·N (B ·N 𝐶)) = ((w ·N v) ·N (A ·N 𝐷)) ↔ ((z ·N B) ·N (u ·N 𝐶)) = ((w ·N A) ·N (v ·N 𝐷))))
28	10, 27	syl5ibr 145	. . . 4 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((z ·N B) = (w ·N A) ∧ (u ·N 𝐶) = (v ·N 𝐷)) → ((z ·N u) ·N (B ·N 𝐶)) = ((w ·N v) ·N (A ·N 𝐷))))
29	9, 28	sylbid 139	. . 3 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q ∧ [⟨v, u⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((z ·N u) ·N (B ·N 𝐶)) = ((w ·N v) ·N (A ·N 𝐷))))
30		ltmpig 6323	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ f ∈ N) → (x <N y ↔ (f ·N x) <N (f ·N y)))
31	30	adantl 262	. . . 4 ⊢ (((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ f ∈ N)) → (x <N y ↔ (f ·N x) <N (f ·N y)))
32	20, 11, 12	caovcld 5596	. . . 4 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (z ·N u) ∈ N)
33	20, 13, 18	caovcld 5596	. . . 4 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (B ·N 𝐶) ∈ N)
34	20, 22, 23	caovcld 5596	. . . 4 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (w ·N v) ∈ N)
35	20, 24, 25	caovcld 5596	. . . 4 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (A ·N 𝐷) ∈ N)
36	31, 32, 33, 34, 15, 35	caovord3d 5613	. . 3 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((z ·N u) ·N (B ·N 𝐶)) = ((w ·N v) ·N (A ·N 𝐷)) → ((z ·N u) <N (w ·N v) ↔ (A ·N 𝐷) <N (B ·N 𝐶))))
37	29, 36	syld 40	. 2 ⊢ ((((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) ∧ ((v ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨A, B⟩] ~Q ∧ [⟨v, u⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((z ·N u) <N (w ·N v) ↔ (A ·N 𝐷) <N (B ·N 𝐶))))
38	1, 2, 3, 4, 37	brecop 6132	1 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (A ·N 𝐷) <N (B ·N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·_N cmi 6258   <_N clti 6259   ~_Q ceq 6263  Qcnq 6264   <_Q cltq 6269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337

This theorem is referenced by:  nqtri3or  6380  ltdcnq  6381  ltsonq  6382  ltanqg  6384  ltmnqg  6385  1lt2nq  6389  ltexnqq  6391  archnqq  6400  prarloclemarch2  6402  ltnnnq  6406  prarloclemlt  6476