Theorem ordpipqqs 6530

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordpipqqs	⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem ordpipqqs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 6516	. 2 ⊢ ~Q ∈ V
2		enqer 6514	. 2 ⊢ ~Q Er (N × N)
3		df-nqqs 6504	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
4		df-ltnqqs 6509	. 2 ⊢ <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
5		enqeceq 6515	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴)))
6		enqeceq 6515	. . . . . 6 ⊢ (((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝑣 ·N 𝐷) = (𝑢 ·N 𝐶)))
7		eqcom 2058	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ·N 𝐷) = (𝑢 ·N 𝐶) ↔ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷))
8	6, 7	syl6bb 189	. . . . 5 ⊢ (((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)))
9	5, 8	bi2anan9 548	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷))))
10		oveq12 5549	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷)))
11		simplll 493	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑧 ∈ N)
12		simprlr 498	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑢 ∈ N)
13		simplrr 496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
14		mulcompig 6487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
15	14	adantl 266	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
16		mulasspig 6488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑓) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑓)))
17	16	adantl 266	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑓) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑓)))
18		simprrl 499	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
19		mulclpi 6484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
20	19	adantl 266	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
21	11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	caov4d 5713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)))
22		simpllr 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑤 ∈ N)
23		simprll 497	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝑣 ∈ N)
24		simplrl 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
25		simprrr 500	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
26	22, 23, 24, 15, 17, 25, 20	caov4d 5713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷)))
27	21, 26	eqeq12d 2070	. . . . 5 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) ↔ ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷))))
28	10, 27	syl5ibr 149	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷))))
29	9, 28	sylbid 143	. . 3 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷))))
30		ltmpig 6495	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ (𝑓 ·N 𝑥) <N (𝑓 ·N 𝑦)))
31	30	adantl 266	. . . 4 ⊢ (((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ (𝑓 ·N 𝑥) <N (𝑓 ·N 𝑦)))
32	20, 11, 12	caovcld 5682	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
33	20, 13, 18	caovcld 5682	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
34	20, 22, 23	caovcld 5682	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
35	20, 24, 25	caovcld 5682	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (𝐴 ·N 𝐷) ∈ N)
36	31, 32, 33, 34, 15, 35	caovord3d 5699	. . 3 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣) ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶))))
37	29, 36	syld 44	. 2 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣) ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶))))
38	1, 2, 3, 4, 37	brecop 6227	1 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ⟨cop 3406   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  [cec 6135  Ncnpi 6428   ·_N cmi 6430   <_N clti 6431   ~_Q ceq 6435  Qcnq 6436   <_Q cltq 6441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-lti 6463  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-ltnqqs 6509

This theorem is referenced by:  nqtri3or  6552  ltdcnq  6553  ltsonq  6554  ltanqg  6556  ltmnqg  6557  1lt2nq  6562  ltexnqq  6564  archnqq  6573  prarloclemarch2  6575  ltnnnq  6579  prarloclemlt  6649