ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordpipqqs GIF version

Theorem ordpipqqs 6530
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordpipqqs (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem ordpipqqs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enqex 6516 . 2 ~Q ∈ V
2 enqer 6514 . 2 ~Q Er (N × N)
3 df-nqqs 6504 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
4 df-ltnqqs 6509 . 2 <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥Q𝑦Q) ∧ ∃𝑧𝑤𝑣𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
5 enqeceq 6515 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴)))
6 enqeceq 6515 . . . . . 6 (((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝑣 ·N 𝐷) = (𝑢 ·N 𝐶)))
7 eqcom 2058 . . . . . 6 ((𝑣 ·N 𝐷) = (𝑢 ·N 𝐶) ↔ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷))
86, 7syl6bb 189 . . . . 5 (((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)))
95, 8bi2anan9 548 . . . 4 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷))))
10 oveq12 5549 . . . . 5 (((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷)))
11 simplll 493 . . . . . . 7 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → 𝑧N)
12 simprlr 498 . . . . . . 7 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → 𝑢N)
13 simplrr 496 . . . . . . 7 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → 𝐵N)
14 mulcompig 6487 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
1514adantl 266 . . . . . . 7 (((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
16 mulasspig 6488 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑦N𝑓N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑓) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑓)))
1716adantl 266 . . . . . . 7 (((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) ∧ (𝑥N𝑦N𝑓N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑓) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑓)))
18 simprrl 499 . . . . . . 7 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → 𝐶N)
19 mulclpi 6484 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
2019adantl 266 . . . . . . 7 (((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
2111, 12, 13, 15, 17, 18, 20caov4d 5713 . . . . . 6 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)))
22 simpllr 494 . . . . . . 7 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → 𝑤N)
23 simprll 497 . . . . . . 7 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → 𝑣N)
24 simplrl 495 . . . . . . 7 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → 𝐴N)
25 simprrr 500 . . . . . . 7 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → 𝐷N)
2622, 23, 24, 15, 17, 25, 20caov4d 5713 . . . . . 6 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷)))
2721, 26eqeq12d 2070 . . . . 5 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → (((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) ↔ ((𝑧 ·N 𝐵) ·N (𝑢 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝐴) ·N (𝑣 ·N 𝐷))))
2810, 27syl5ibr 149 . . . 4 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → (((𝑧 ·N 𝐵) = (𝑤 ·N 𝐴) ∧ (𝑢 ·N 𝐶) = (𝑣 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷))))
299, 28sylbid 143 . . 3 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷))))
30 ltmpig 6495 . . . . 5 ((𝑥N𝑦N𝑓N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ (𝑓 ·N 𝑥) <N (𝑓 ·N 𝑦)))
3130adantl 266 . . . 4 (((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) ∧ (𝑥N𝑦N𝑓N)) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ (𝑓 ·N 𝑥) <N (𝑓 ·N 𝑦)))
3220, 11, 12caovcld 5682 . . . 4 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
3320, 13, 18caovcld 5682 . . . 4 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
3420, 22, 23caovcld 5682 . . . 4 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
3520, 24, 25caovcld 5682 . . . 4 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → (𝐴 ·N 𝐷) ∈ N)
3631, 32, 33, 34, 15, 35caovord3d 5699 . . 3 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → (((𝑧 ·N 𝑢) ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = ((𝑤 ·N 𝑣) ·N (𝐴 ·N 𝐷)) → ((𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣) ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶))))
3729, 36syld 44 . 2 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝐴N𝐵N)) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ (𝐶N𝐷N))) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q ∧ [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ) → ((𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣) ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶))))
381, 2, 3, 4, 37brecop 6227 1 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐶N𝐷N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q <Q [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 𝐷) <N (𝐵 ·N 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  cop 3406   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  [cec 6135  Ncnpi 6428   ·N cmi 6430   <N clti 6431   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436   <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-lti 6463  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  nqtri3or  6552  ltdcnq  6553  ltsonq  6554  ltanqg  6556  ltmnqg  6557  1lt2nq  6562  ltexnqq  6564  archnqq  6573  prarloclemarch2  6575  ltnnnq  6579  prarloclemlt  6649
  Copyright terms: Public domain W3C validator