Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modifeq2int GIF version

Theorem modifeq2int 9336
 Description: If a nonnegative integer is less than twice a positive integer, the nonnegative integer modulo the positive integer equals the nonnegative integer or the nonnegative integer minus the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modifeq2int ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem modifeq2int
StepHypRef Expression
1 simp1 915 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0z 8322 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
3 zq 8658 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
42, 3syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ)
51, 4syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℚ)
65adantr 265 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
7 nnq 8665 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℚ)
873ad2ant2 937 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
98adantr 265 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℚ)
101nn0ge0d 8295 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
1110adantr 265 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
12 simpr 107 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
13 modqid 9299 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
146, 9, 11, 12, 13syl22anc 1147 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
15 iftrue 3364 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)) = 𝐴)
1615eqcomd 2061 . . . 4 (𝐴 < 𝐵𝐴 = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
1716adantl 266 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
1814, 17eqtrd 2088 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
195adantr 265 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
208adantr 265 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℚ)
21 simp2 916 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
2221adantr 265 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
2322nngt0d 8033 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2421nnred 8003 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
251nn0red 8293 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2624, 25lenltd 7193 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2726biimpar 285 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
28 simpl3 920 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (2 · 𝐵))
29 q2submod 9335 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
3019, 20, 23, 27, 28, 29syl32anc 1154 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
31 iffalse 3367 . . . . 5 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
3231adantl 266 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
3332eqcomd 2061 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
3430, 33eqtrd 2088 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
351, 2syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
3621nnzd 8418 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
37 zdclt 8376 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 𝐵)
38 exmiddc 755 . . . 4 (DECID 𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
3937, 38syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4035, 36, 39syl2anc 397 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4118, 34, 40mpjaodan 722 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 101   ∨ wo 639  DECID wdc 753   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  ifcif 3359   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  0cc0 6947   · cmul 6952   < clt 7119   ≤ cle 7120   − cmin 7245  ℕcn 7990  2c2 8040  ℕ0cn0 8239  ℤcz 8302  ℚcq 8651   mod cmo 9272 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-q 8652  df-rp 8682  df-fl 9222  df-mod 9273 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator