Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem3 GIF version

Theorem phplem3 6348
 Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. For a version without the redundant hypotheses, see phplem3g 6350. (Contributed by NM, 26-May-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1 𝐴 ∈ V
phplem2.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
phplem3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem3
StepHypRef Expression
1 elsuci 4168 . 2 (𝐵 ∈ suc 𝐴 → (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
2 phplem2.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
3 phplem2.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
42, 3phplem2 6347 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
52enref 6276 . . . 4 𝐴𝐴
6 nnord 4362 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7 orddif 4299 . . . . . 6 (Ord 𝐴𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
86, 7syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
9 sneq 3414 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
109difeq2d 3090 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
1110eqcoms 2059 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
128, 11sylan9eq 2108 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
135, 12syl5breq 3827 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
144, 13jaodan 721 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
151, 14sylan2 274 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ∨ wo 639   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  Vcvv 2574   ∖ cdif 2942  {csn 3403   class class class wbr 3792  Ord word 4127  suc csuc 4130  ωcom 4341   ≈ cen 6250 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-opab 3847  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-en 6253 This theorem is referenced by:  phplem4  6349  phplem3g  6350
 Copyright terms: Public domain W3C validator