Theorem nnord 4354

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4352	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1434  Ord word 4119  Oncon0 4120  ωcom 4333

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-iinf 4331

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-uni 3604  df-int 3639  df-tr 3878  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334

This theorem is referenced by:  nnsucsssuc  6129  nnsucuniel  6132  nntri1  6133  nnsseleq  6138  phplem1  6377  phplem2  6378  phplem3  6379  phplem4  6380  phplem4dom  6387  nndomo  6389  dif1en  6404  nnwetri  6426  unsnfi  6429  piord  6552  addnidpig  6577  archnqq  6658  frecfzennn  9497  sizep1i  9823